İSPAT BİÇİMLERİ

GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR

POSTULAT

AKSİYOM

Doğruluğu ispat edilemeyen veya ispatına gerek duyulmayan ancak doğruluğu kabul edilen önermelere postulat denir.

Bir matematiksel durum üzerine temel varsayım.(Houston,2010)

TEOREM

TANIM

Bu elemanları neden ve nerede kullanıyoruz?

Matematik ve mantıkta kanıtlanmış yani ispat edilmiş sav,önerme

Bir kavramın anlamını aydınlatma, açıklama ve belirleme işlemidir. Bir şeyin ne olduğunun belirtilmesidir.

EUCLID (MÖ 330-275)

Öklid (Yunanca:Eukleídēs) MÖ 330 - 275 yılları arasında yaşamış İskenderiyeli bir matematikçidir.

Geometriyi ispata,postulatlara ve aksiyomlara dayalı bir sistem olarak işleyen 13 ciltlik kitabı “Elementler” bu alandaki ilk kapsamlı çalışmasıdır.

Öğeler, 13 kitaptan oluşmaktadır. Bunlar sırasıyla;

I) Benzerlikler, paraleller, pisagor teoremi

II) Özdeşlikler, alan hesabı, altın kesim

III) Daireler

IV) Dairelerin içine ve dışına çizilen çokgenler

V) Oran ve Orantı Kavramı

VI) Çokgenlerin Benzerlikleri

VII ve VIII ve IX) Aritmetik, eski sayılar teorisi

X) Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler

XI ve XII ve XIII) Uzay Geometrisi.

Öklid'in postulatları:

• Herhangi bir noktadan herhangi başka bir noktaya bir düz doğru çizmek mümkündür.
• Bir tane doğru parçasını her iki yöne de sürekli bir şekilde uzatmak mümkündür.
• Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember tanımlamak mümkündür.
• Bütün dik açıların birbirine eşit olduğu doğrudur.
• Eğer iki doğru ile kesişen bir doğru çizilirse, iki doğrunun birbirine bakan tarafında yer alan ve onları kesen doğrunun bir tarafında kalan iki açının toplamı iki dik açıdan küçükse bu iki doğru açıların toplamının iki dik açıdan az olduğu tarafta uzatılmaya devam ederlerse ilerde bir noktada kesişecekleri doğrudur. (Bu postulat paralel doğrular kesişmez şeklinde bilinen postulattır.)

Öklid'in aksiyomları (Ortak Kanılar):

• Bir şeye eşit olan başka şeyler birbirlerine de eşittirler.
• Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilen bütünler de birbirlerine eşittir.
• Eğer eşit miktalardan eşit miktarlar çıkarılırsa, kalanlar da birbirlerine eşittir.
• Birbirleriyle çakışan (özelikleri açısından örtüşen) şeyler birbirlerine eşittir.
• Bütün parçadan büyüktür.

Geometride ispat yapabilmek için ispat yöntemlerini bilmemiz gerekir.

İspat biçimi sadece ispat yapılırken nasıl bir akış şekli seçeceğimiz ile ilgilidir!

Bu ispatlar yapılırken farklı yazım biçimleri kullanılır,bunlar:

1. Paragraf ispat biçimi,

2. Akış diyagramı ispat biçimi,

3. Çift sütun ispat biçimidir.

İspat yöntemleri ve ispat

biçimleri iki farklı kavramdır!

Bu ispat biçimleri farklı ispat

yöntemleri değil, aksine ispat yöntemlerinin farklı biçimde gösterilmesidir.

İSPAT YÖNTEMLERİ

Çift Sütun/İki Kolon İspatın Tarihi

Bu konuyla ilgili yapılan araştırmalar incelendiğinde çift sütun ispat biçiminin yurt dışında neredeyse son yüzyılın tümünde araştırmalarda, öğretim dokümanlarında ve programlarında kendine yer bulduğu söylenebilir.

Çift sütun ispat formunun çeşitli durumları 1895 'ten beri kendini göstermeye başlamıştır.

Öğrencilerin ispatı nasıl orijinal olarak yapacaklarına dair bir beklenti oluşmuş, bu beklenti beraberinde 1910'ların başında, özelleşmiş metinsel halinde çift sütun ispat olarak adlandırılan ispat meydana gelmiştir.

Bu durumun aksine ülkemizdeki herhangi bir seviyedeki matematik öğretim programında çift sütunlu ispat biçimi ile karşılaşılmamaktadır.

Ülkemizin bu yöntem ile tanışması ancak 2010 yılında yayınlanan yeni 10. sınıf Ortaöğretim Geometri Dersi Öğretim Planı ile olmuştur.

Çift sütun ispat biçiminde ilk sütunda “İfadeler” başlığı yer alır.

Sıra numarası verilerek adım adım son ifadeye kadar yazılır.

Çift sütunda ise “Gerekçeler” başlığı altında ilk kolon numaralarına paralel olacak şekilde ilk kolondaki “İfadeler” başlığının yazılma gerekçeleri belirtilir.

Gerekçeler; özellikler, teoremler, postulatlar ve tanımlar olabilir.

Böylece eksik parça tamamlanarak ispata gidilir.

İfadeler

Gerekçeler

1.

2.

.

.

.

n.

İspat: Bir uçurtmanın köşegenleri diktir. (Khan Academy)

Bu ispat biçimi, ispat yapısı kutular içinde yazılan "İfadeler", "Gerekçeler" ve etrafındaki okların yönlendirmesiyle oluşur.

Gerekçeler (verilenler, özellikler, teoremler, postulatlar ve tanımlar) kutuların altına veya yanına yazılır.

Bu akış diyagramı bilgisayar programcılarının sıkça tercih ettikleri bir mantıksal yapıya sahiptir.

Her bir adım kolayca ve açık olarak görüldüğü için bu ispat biçimi, cebirsel ve geometrik ispatlara kolayca uyarlanabilir.

Bu ispat biçiminde; ispat boyunca detaylı açıklamalara yer verilir.

İspatı sonlandırana kadar her adım için gerekçe ayrıntılı bir şekilde belirtilir.

Geometride bizim en çok kullandığımız tür paragraf ispat biçimidir.

https://goo.gl/AZjvui

Matematik Bölümü Öğrencilerinin

İspat Algıları

• YILI: 2014
• YAZARI: GÖKÇE TUNCER
• YAYIN: MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI YÜKSEK LİSANS TEZİ
• SAYFA SAYISI: 221

Öğrencilere bu gösterimlerin ispat olup olmadığı sorulmuş.

Bu sefer öğrencilere bu gösterimlerin ispat olup olmadığı sorulmuş.

Son olarak öğrencilere bu gösterimlerin ispat olup olmadığı sorulmuş.

SONUÇLAR

Matematik Öğrenme Adaylarının Çift Sütun İspat Yöntemine Yönelik Görüşleri ve Bu Yönteme Dayalı İspatlama Süreçlerinin Analizi

YILI:2013

YAZARI:Özge KARAHAN

YAYIN:Matematik Öğretmenliği Programı Yüksek Lisans Tezi

SAYFA SAYISI:230

Araştırmanın Amacı

Araştırma,bu yöntemin kullanışlılık durumu ile ilgili bilgi sahibi olma ve ülkemizde bu yönteme dair var olan boşluğun doldurulmasında bir basamak olabilme amaçlarını taşımaktadır.

Araştırma Modeli:

Bu tez çalışması, tasarlanması, uygulanması,verilerin toplanması ve analiz edilmesi boyutları açısından bir nitel araştırmadır.

Araştırmanın Örneklemi:

Amacına ve nitel araştırmanın özelliklerine uygun olacak şekilde tipik durum örneklemesi yöntemi kullanılarak oluşturulmuştur.''Tipik durum örneklemesinde, araştırmacılar tipik birey,grup ya da durumlar üzerinde çalışır''(Onwuegbuzie&Leech, 2007: 9.)

Veri Toplama Araçları

Bu araştırmada, araştırmanın yöntemine uygun olacak şekilde yazılı dökümanlar ve görüşmeler veri toplama aracı olarak kullanılmıştır.

SONUÇLAR

KAYNAKÇA

• http://www.matder.org.tr/index.php?option=com_content&view=article&catid=7:unlu-matematikciler&id=28:euclides-oklid-mo-330-275-&Itemid=37

• http://www.eba.gov.tr/video/izle/02587e81bcf3a7c5c4f3aa5edfc260bff130d81ed6007

• http://www.academia.edu/7661342/Aksiyom_Postulat_Teorem

• https://www.pegem.net/Akademi/kongrebildiri_detay.aspx?id=129021

• https://www.khanacademy.org.tr/matematik/geometri/eslik/dortgenlerle-%C4%B0lgili-teoremler/%C4%B0spat:-bir-ucurtmanin-kosegenleri-diktir/2707

• https://study.com/academy/subj/math.htm

• https://tr.0wikipedia.org/index.php?q=aHR0cHM6Ly90ci53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvw5ZrbGlk

• https://tez.yok.gov.tr/UlusalTezMerkezi/giris.jsp

• Karahan,Özge. "Matematik Oğretmen Adaylarının Çift Sütun ispat Yöntemine Yönelik Görüşleri ve Bu Yönteme Dayalı İspatlama Süreçlerinin Analizi." Yüksek Lisans Tezi (2013),228
• Tuncer, Gökçe. "Matematik Bölümü Öğrencilerinin İspat Algıları" Yüksek Lisans Tezi (2014), 221