PROBABILIDAD CONDICIONADA Y TEOREMA DE BAYES

Es la probabilidad restringida

La probabilidad condicional es la probabilidad restringida al suceso A. En primer lugar es inmediato obtener que P(A A) = 1.

Se verifica la regla de la suma para la probabilidad condicional, es decir:

P(B ∪ C A) = P(B A) + P(C A),

si B y C son sucesos incompatibles

Ejemplo

Dado un suceso B fijo tal que P(B)>0, P(°|B) es una probabilidad, en el sentido que satisface los axiomas de probabilidad y por lo tanto todas las propiedades que se deducen a partir de ellos. ejemplo:

a1. (A|B) >_ 0 para todo suceso A.

A2. P(S|B)=1

Propiedades

Independencia

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

P(A ∩ B)= P(A)P(B)

Osea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, P(A ∩ B)

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

P(A B) \ = \ P(A)

P(B A) \ = \ P(B).

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Propiedades de la independencia

1) Si los sucesos A y B son excluyentes, es decir si A ∩ B = ∅ y si P(A)>0,

P(B) > 0, entonces A y B no son independientes.

Dem: En efecto, en este caso, 0 = P(A ∩ B) ≠ P(A)P(B).

2) Si P(B) = 0, entonces B es independiente de cualquier suceso A tal que P(A) > 0.

Dem: Como A ∩ B ⊆ B, P(A ∩ B) = 0 y por lo tanto P(A ∩ B) = P(A) P(B), es decir que A y B son independientes.

3) Si A ⊆ B, P(A) > 0 y P(B) <1, A y B no son independientes.

Dem: Como A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A⇒ P(A ∩ B) = P(A) ≠ P(A)P(B). Luego, A y B no son

independientes.

4) Si A y B son sucesos independientes, A y Bc también lo son.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es un procedimiento para obtener probabilidades condicionales (probabilidades de ocurrencia de acontecimientos condicionadas a la ocurrencia de otros acontecimientos)

El teorema de Bayes da respuesta a cuestiones de tipo causal, predictivas y de diagnóstico. En las cuestiones causales queremos saber cuál es la probabilidad de acontecimientos que son la consecuencia de otros acontecimientos. En las cuestiones predictivas queremos saber cuál es la probabilidad de acontecimientos dada información de la ocurrencia de los acontecimientos predictores. En las cuestiones de tipo diagnóstico queremos saber cuál es la probabilidad del acontecimiento (o acontecimientos) causales o predictivos dado que tenemos información de las consecuencias.

a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

(Ai/B)=(P(A1)*P(B/A1))/(ΣP(A1)*P(B/A1) )

donde:

P(Ai) son las probabilidades a priori.

P(B / Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.

P(Ai / B) son las probabilidades a posterior

Ejemplo

El 60% de los tornillos producidos por una fábrica proceden de la máquina A y el 40% de la máquina B. La proporción de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo de dicha fábrica sea defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que un tornillo es defectuoso, proceda de la máquina A?.

En este ejemplo, tenemos un experimento en dos etapas; en la primera, los sucesos son:

A: tornillo fabricado por la m´aquina A

B: tornillo fabricado por la m´aquina B

Los valores de las probabilidades de estos sucesos son conocidos: p(A)=0,6 y p(B)=0,4.

Los resultados de la segunda etapa son:

D: tornillo defectuoso

D: tornillo no defectuoso

Las probabilidades de estos sucesos dependen del resultado de la primera etapa:

p(D/A)=0,1 p(D/B)=0,5

A partir de estos valores podemos determinar también:

La otra probabilidad es p(A/D), probabilidad de un resultado de la primera etapa condicionada a un resultado de la segunda; podemos aplicar el teorema de Bayes para resolverlo:

p(D/A)=(p(D/A)p(A))/(p(D/A)p(A)+p(D/B)p(B))=((0,1)(0,6))/((0,1)(0,6)+(0,5)(0,4))=3/13