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Transcript

Matematica e Crittografia

Palmieri Lucia

Sirica Alessia

12 Dicembre 2019

La Crittografia

  • Scrittura convenzionale segreta, decifrabile solo da chi sia a conoscenza del codice.

Didattica

  • Gioco enigmistico consistente nell'analizzare le relazioni tra le lettere e le parole date, così da trarne considerazioni e suggerimenti che portano alla formazione di parole o frasi compiute di lunghezza data.

Alfabeto Segreto

Aneddoto di Scherock

AM HERE.

ABE SLANEY.

Didattica

Percorso didattico

Dall'antichità al II secolo d.C.

Antichità

Steganografia

Scitala, 400 a.C.

Scitala

Atbash

Testi Sacri

(Vecchio Testamento)

250 a.C.

Codici

Frase da cifrare: IL SOLE BRILLA

Frase cifrata: RO HLOV YIROOZ

Albam

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

Frase da cifrare: IL SOLE BRILLA

Frase cifrata: VX EAXR ODVXXN

Le prime nove lettere dell'alfabeto vengono sostituite in modo tale che la somma della lettera da sostituire e la lettera sostituente risulti uguale a 10.

Atbah

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

C=3 viene sostituita con G=7

C + G = 3 + 7 = 10

Polibio, 200 a.C.

Polibio

Cifrario di Cesare,

II secolo d.C.

Cesare

Esempi

Frase da cifrare: AVE CAESAR

Frase cifrata: DYH FDHVDU

Aritmetica dell'orologio

Aritmetica modulare

Matematica del cifrario di Cesare

Cifrario di Cesare

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . 25

C(x)=x+3 (mod26) dove

  • x è il valore senza codifica
  • C(x) è il valore codificato
  • 26 è lunghezza dell'alfabeto

Codifica

Esempio di codifica

Cifriamo AZIO

D

C(0)=0+3=3 congruo 3(mod26)

  • A=0
  • Z=25

C

C(25)=25+3 =28 congruo 2(mod26)

  • I=8

L

C(8)=8+3 =11 congruo 11(mod26)

  • O=14

C(14)=14+3 =17 congruo 17(mod26)

R

Decodifica

Cinv(x)=x-3 (mod26)

Decifriamo DCLR

A

Cinv(3)=3-3 congruo 0(mod26)

  • D=3
  • C=2

Cinv(2)=2-3=-1+26congruo25(mod26)

Z

  • L=11

I

Cinv(11)=11-3 congruo 8(mod26)

Cinv(17)=17-3 congruo 14(mod26)

  • R=17

O

1° Guerra Mondiale

1914-1918

1GM

Telegramma di Zimmermann

Invenzione della radio

Rivest, Shamir, Adleman

RSA

Chiavi

Chiavi

pubbliche

e

chiavi

private

Numeri Primi

Definizione di numero primo

Si definisce numero primo un numero naturale che ha solo due divisori distinti: 1 e se stesso.

Fattorizzazione di numero primo

Fattorizzare un numero naturale significa riscriverlo come prodotto di numeri primi.

Esempio: 48510 = 2*3*3*5*7*7*11

Algoritmo RSA

Algoritmo RSA

  • L'insieme di numeri minori di n che sono anche primi con n si chiama funzione di Eulero e si esprime come F(n).
  • Se n=pq essendo p e q due numeri primi, allora F(n)=(p-1)(q-1).
  • Grazie al "piccolo teorema di Fermat", si sa che se a è un numero intero maggiore di 0 e p un numero primo, allora a^(p-1) è congruo 1(mod p).
  • Per il teorema di Eulero, se MCD(n,a)=1 allora a^F(n) è congruo 1(mod 1)

Perchè fidarsi?

  • Non esiste un algoritmo per calcolare i numeri primi
  • Non conosciamo la disposizione dei numeri primi

Privacy

  • Il test di primalità per un numero n è piuttosto veloce
  • La fattorizzazione di un numero n è molto lenta

Funzioni Hash

Comprare su internet

APPLICAZIONI RSA

Esempi

Carta di credito

Carta di Credito

Algoritmo di LUHN

FGH IJKL MNO

E

P

ABCD

ABCD EFGH IJKL MNOP

1234 5678 9012 3452

1+0=1

1+4=5

1*2=2

3*2=6

5*2=10

7*2=14

9*2=18

1*2=2

3*2=6

5*2=10

1+8=9

  • 2+6+1+5+9+2+6+1=32
  • 2+4+6+8+0+2+4+2=28
  • 32+28=60

1+0=1

Codice a barre

Barcode

Codice EAN-13

CDEFG

AB

ABCDEFGHIJKLM

HIJKL

M

  • AB forma il codice del paese di origine del prodotto
  • CDEFG identifica l'impresa produttrice
  • HIJKL indica il codice del prodotto che è stato assegnato all'impresa
  • M corrisponde alla cifra di controllo

Un futuro quantistico

9 Dic 2019

Futuro

Michael Hintze

Grazie per l'attenzione

Conclusioni

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