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Testo dell'esercizio
Un castello è circondato da un fossato di forma ellittica, la cui larghezza è 10 m.
Un drappello di spie proveniente dalla foresta cerca di infiltrarsi attraversando a nuoto il fossato.
Le spie decidono di attraversarlo dal punto indicato nella figura, nella direzione che consente il tragitto a nuoto più breve.
a. Nel sistema di assi cartesiani in figura, con unità di misura 1 m, scrivi le equazioni delle due ellissi che delimitano il fossato.
b. Scrivi l'equazione della retta che da la direzione in cui nuotano le spie.
a
Ellisse 1
a=40
b=50
Vado a sostituire a e b nell'equazione canonica dell'ellisse
Punto a
b
a
Ellisse 2
a=30
b=40
Vado a sostituire a e b nell'equazione canonica dell'ellisse
Ellisse 2
b
"
'a' sarà uguale a 30 perché devo trovare l'ellisse più interna perciò farò la differenza tra 'a' della precedente ellisse e 10.
Perché 30?
"
"
'b' sarà uguale a 40 perché devo trovare l'ellisse più interna perciò farò la differenza tra 'b' della precedente ellisse e 10.
Perché 40?
"
punto b
Determiniamo il fascio di rette passanti per il punto P
Punto b
"
abbiamo determinato l'equazione del fascio di rette di centro P per eseguire il sistema formato dalle equazioni del fascio e dell'ellisse.
Perché?
"
Perché eseguire un sistema?
Eseguiamo il sistema
vai al sistema
Perché eseguire un sistema?
Abbiamo eseguito un sistema in quanto, per trovare la tangente, è necessario porre a sistema l'equazione dell'ellisse con l'equazione del fascio di rette, passante per P.
Equazione
risolvente
Retta tangente
Perché porre il discriminante pari a 0?
Perché porre il discriminante pari a 0?
Abbiamo posto il discriminante pari a 0 in quanto in matematica rappresenta la condizione di tangenza
Perché trovare una tangente?
Abbiamo utilizzato la tangente per trovare la retta perpendicolare.
Affinché le spie arrivino al castello è necessario che seguano questo percorso...
La via più breve da percorrere è questa....
Retta tangente all'ellisse
rappresenta la pendenza della retta tangente all'ellisse nel punto P
essendo che devono fare il tragitto più corto, è necessario trovare l'antireciproco
riprendiamo il sistema:
si sostituisce m e la retta è :
Retta che da la direzione alle spie
calcolo il reciproco inverso di m quindi:
p
Direzione giusta...
si sostituisce mp nel fascio di rette e il risultato è: