Introducing
Your new presentation assistant.
Refine, enhance, and tailor your content, source relevant images, and edit visuals quicker than ever before.
Trending searches
3,576
The calculus in the blood
(혈류 속의 미적분학)
-차례-
혈류 속 미적
1.혈관은 얼마나 팽창하는가?
2.어떻게 몸이 가장 효율적인 분기점
(변화가 일어나는 지점)을 아는 걸까?
-이 분기점에서 최적화된 각도는
몇 도일까?
프랑스의 생리학자 장 루이 마리 포이쉴리는
원통형 파이프에 흐르는 유체의 문제를 연구하였다.
그는 어떤 시간t의 시점에서 흐르는 액체의
체적 유량률v'(t)가 파이프의 반지름r에 관련되어
있다는 것을 발견하였다.
v'(t)=k(r(t))⁴
1.혈관은 얼마나 팽창하는가?
*v'이 변화하면서 r에는 영향을 미치지만 t는 전혀 상관없다.
그러니까 시간이 t=t0일때,동맥중 하나의 사진을 찍은척하고, 포이쉴리의 공식을 다시 써보면
f(r)=kr⁴
f는 시간 t0일때 동맥 반지름r의 함수인 체적 유랑률v'이다.
이 새로운 관계를 통해 최적 유량률과 반지름을 연결했다.
1.최적 유량률과 반지름의
연결했다.
현재 동맥의 반지름이 r=a라고 하자 r이 a에 가까울 때 f(r)의
근삿값(어떤 수치에 충분히 가까운 수치)을 다음 공식을 사용해 구할 수 있다.
새로운 기호△f=f(r)-f(a)와 △r=r-a를 도입하면 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
2.동맥 반지름r의 증가량과 혈류 유동률 f가 변하는 양의 관계
이 근삿값을 유도하면서 변화량△r이 작다고 가정한다.
하지만 △r하고 △f를 매우 작지만 0은 아닌 수로 만든다고 생각한다
(즉 무한소).
그러면 다음 식을 구할 수 있다. (포이쉴리의 f공식을 미분하면 다음 공식을 얻을 수 있다.)
df=f'(a)dr =4ka³dr
이제 f(a)로 나누면 다음식이 된다.
(추가)
기호dr/a는 r의 변화량을 처음 값으로 나눈 값이다.
즉 dr/a는 처음의 동맥 반지름 a에서 몇 퍼센트만큼 변했는지 알려준다.
비슷하게 df/f는 그 결과로 f가 몇 퍼센트 변했는지 알려준다.
그러므로 결과적으로 혈류 유동률이 4%정도 증가하면(df/f=0.04), 동맥 반지름이 1%정도 늘어난다는 것이다.
*실제 공식에서 볼 수 있듯이 동맥 반지름r의 증가량은 항상 혈류 유동률 f가 변하는 양의 1/4이라는 것을 알 수 있다.
우리 동맥이 그냥 더 많은 양의 혈류를 감당하고 싶어서 팽창하는 것이 아니다.
동맥은 이 혈관을 팽창하는데 필요한 일을 최소화하고자 한다.
최적화하기 전에 함수와 그 함수의 구간이 필요하다.
포이쉴리는 다른 연구에서 길이l과 반지름r을 가진 파이프에서 흐르는 유체의 저항R에 관한 공식을 발견했다.
2.어떻게 몸이 가장 효율적인 분기점
(변화가 일어나는 지점)을 아는 걸까?
*여기서 c는 유체의 점성에 의존하는 매개변수이다.
우리 몸이 피를 보내는 데 필요한 일을 최소화하려면, 피가 혈관에 들어올 때 피의 저항R을 최소화해야한다. 특히 혈관이 두 가지 분기점으로 나뉠 때, 이 분기점은 저항R을 최소화해야 한다.
(추가)
포이쉴리의 두번째 법칙을 사용해서
큰 혈관에서 작은 혈관으로 흐르는 피의
총 저항을 다음과 같이 정의할 수 있다
위의 식에서 cotθ는 tanθ의 역수이고 cscθ는 sinθ의 역수이다. 첫 번째 식은 작은 혈류의 단면을 뺀 저항이고
두 번째 식은 작은 혈류의 길이에 해당하는 저항값이다.
이 두식이 합쳐져서 아래의 그림과 같은 경우의 전체 저항값이 나오게 된다.
Z Y
X
(추가)
(추가)
위의 그림을 보면 180도보다 큰 각도는 그래프를 위아래와 좌우로 돌리면 같아짐으로 0≤θ≤π구간만 확인해보면 된다.
하지만 수학적으로 이 구간의 종점 0과 π에서의 문제가 발생한다. 함수cotθ와cscθ는 이런 종점 각도값에서 정의되지 않기 때문이다.(0에서tan의 값은 0으로 이의 역수는 무한대로가기에 정의가 불가능)
하지만 R(θ)의 그래프를 보면 R(θ)가 끝점에서 무한대로 올라가니까 최솟값은 종점과 상관이 없다.
그림을 보면 0<θ<π내의 모든 점에서 R'(θ)가 존재 한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 R(θ)미분 가능한 함수이고, 이 함수는 정류점에서 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있다.
R'(θ)가 0이 되는 점을 찾으면 그 점이 바로 정류점이다.
(추가)
위식은 R'(θ)을 정리한 식으로 R(θ)식에서 cot(θ)와 csc(θ)의 미분은 각각 삼각함수 미분법에 의하여 -csc²(θ), -csc(θ)·cot(θ)가 된다.
저항을 최소화하는 분기 각도는 분기점에서 혈관의 반지름들의 비율에 의해 결정된다. 가장 최적화된 분기 각도는r₂/r₁의 비율에 의해 결정된다. ₁r₂/r₁
Z Y
X
(추가)
3.결론
(결론)
수백년간 인간의 몸은 최적화된 분기 각도를 찾아 심장이 사용하는 에너지를 최소화하려고 계속해서 조금씩 변해왔을 것이다.
이를 통해서 생물학에서 최적화를 사용해서 사람의 몸을 더 효율적으로 필요한 에너지를 최소화함을 확인할 수 있었다.
~감사합니다~