01분반 여름조

23가지 난제

1900년

프랑스

파리

독일의 수학자 데이비드 힐버트는 1900년 파리 세계 수학자

대회에서 23가지 난제를 발표하여 20세기 수학에 큰 영향을 미쳤습니다.

약 100년이 지난 지금, 많은 문제가 해결되었지만 "리만 가설"

과 같이 아직까지도 풀리지 않은 문제들이 존재합니다.

필즈 상(Fields Medal)

Fields Medal

필즈 상은 국제 수학자 대회에서 수학적 업적을 남긴 40세 미만의 수학자에게 수여되는 상이며 수학 분야에서 가장 권위있는 상이기도 합니다.

필즈는 업적을 기리며 향후 연구를 지속하도록 격려하며 다른 수학자들의 분발을 촉구하도록 상을 수여하도록 하였습니다.

1936년 부터 총 52명의 수상자가 나왔고, 가장 많은 수상자를

배출한 국가는 미국입니다.

약 2~4명의 수상자가 선정되며 이들에게는 금메달과 함께

약 1400만원의 상금이 주어집니다.

네반리나 상

Rolf Nevanlinna Prize

네반리나 상은 핀란드의 수학자 R.H.네반린나를 기리기 위하여 핀란드 정부가 제정한 상이며 수학 관련의 정보과학 분야에 업적을 가진 사람에게 수여됩니다.

1983년 폴란드에서 개최된 바르샤바 국제수학자회의에서 첫 수상자가 생겨났고 필즈상과 같은 날에 수여됩니다.

또한, 앞의 필즈상과 마찬가지로 40세 미만의 수학자만이 받을 수 있습니다.

2018년 수상자는 콘스탄티노스 다스 칼라 키스이며 수상 이

유는 경제에서 계산 복잡성에 대한 우리의 이해를 변화시키기

위해 효율적인 알고리즘을 제공했기 때문입니다.

가우스 상

Carl Friedrich Gauss Prize

가우스 상은 2006년 마드리드 대회부터 수여되기 시작한 상으로,

공학이나 비즈니스, 일상생활 등에 큰 영향을 준 수학자를 대상으로 수여됩니다.

가우스 상은 1998년 국제수학자대회에서의 잉여금으로 메달과 1만 유로를 지급했습니다.

첫 수상자는 키요시 이토라는 수학자이며, 확률론적 미분 방정식과 확률론적 이론의 토대를 마련하여 가우스 상을 수여받았습니다.

체른 상(Chern Medal Award)

Chern Medal Award

체른 상은 2010년 인도 하이데라바드 대회부터 주어졌으며, 필

즈상과 네반리나상과 다르게 나이와 직업을 따지지 않고 수여

됩니다.

또한, 기하학 분야에서 업적을 남긴 수학자들에게 주는 상입니다.

가장 최근의 수상자(2018)는 마사키 카시 와라이며 대수적 분석 및 표현 이론에 대한 그의 뛰어난 기여가 수상 이유입니다.

릴라 바티 상

Leelavati Prize

릴라 바티 상은 인도 하이데라바드에서 열린 국제수학자대회에서 처음으로 수여되었습니다.

릴라 바티 상은 12세기 수학적 논문 "릴라 바티"의 이름을 따서 명명되었으며 수학에 대한 봉사 활동에 대한 상입니다.

첫 수상자는 사이먼 싱이라는 물리학자이며, 개인에 의한 수학 봉사 활동에 대한 공헌을 인정받아 이 상을 수여받게 되었습니다.

한국의 수학 등급

Seoul,

KOEX

국제 수학 연맹에서는 각 국가의 수학 등급을 구분하고 있습니다.

이는 총 5단계이며, 우리나라는 1981년 1등급으로 가입한 후 199

3년에 2등급으로 오른 후 2007년에 4등급으로 향상되었습니다.

가장 높은 5등급의 국가로는 미국,일본,영국,독일,프랑스,이탈리아,러시아,캐나다,중국,이스라엘이 있습니다.

마리암 미르자카니(Maryam Mirzakhani)

최초의

여성 필즈상

수상자

마리암 미르자카니는 1977년에 이란의 테헤란에서 태어났고

2004년에 미국 하버드 대학교에서 박사학위를 받았습니다.

현재 스탠포드 대학교의 교수이며 필즈상 역사상 최초의 여성 수상자입니다.

마리암 미르자카니는 기하학 분야에서 수학의 여러 분야들에 영향을 주었습니다.

3-2

3-4

4-2

4-4

6) 점 (-1,2)을 지나면서 벡터 q=(2,3)와 평행한 직선의 방정식을 구하여라

6

8-2

10-1

10-2

3.1

3.1 - (2)

(2) 와 를 에 속한 벡터라고 하자

1) 를 구하라

풀이) 벡터의 합을 이용해 계산하면 (-1,2,5,4) + (3,0,-2,-1) 이다.

2) 를 구하라

풀이) 벡터의 합과 스칼라 곱을 이용해 계산하면 (-3,6,15,12) + (6,0,-4,-2)이다.

3.2

벡터의 내적

3.2-(4)

(4)다음 각 문항의 벡터 쌍에 대하여 엑셀 수학함수를 활용하여 내적을 구해 보라

2)

풀이) 는 벡터의 내적을 이용하여 (9-2+8)이므로

3.2-(5)

(5) 를 벡터 공간 에 속한 벡터라고 하고 를 0이 아닌 어떤 스칼라라고 할 때, 다음의 수식들이 이치에 닿지 않음을 설명해 보라.

2)

의 값은 스칼라이기 때문에 스칼라와 벡터의 내적을 구하는 것이 이치에 닿지 않는다.

4)

의 값은 스칼라이기 때문에 벡터와 더하는 것이 이치에 닿지 않는다.

3.3

벡터의 길이

3.3-(6)

(6)다음 벡터들의 길이를 구하라

2)

풀이)벡터의 길이는 이므로

3.3-(7)

(7) 다음 벡터들을 정규화하라.

2)

풀이)

3.4

벡터 간의 거리와 교각

3.4-(8)

벡터 이고 일 때, 와 사이의 거리를 구하라.

풀이) 두 벡터 사이의 거리 는 벡터 사이의 거리를 구하는 공식을 이용하여 계산하면, 이므로

3.4-(9)

다음에 주어진 , 벡터 쌍에 대하여 벡터 간의 거리 를 구하라

2)

풀이) 3.4-(8) 처럼 벡터의 거리를 계산하면 되므로

3.4-(10)

다음 두 벡터들 간의 교각을 구하라

2)

풀이) 두 벡터들 간의 교각을 라고 하면 정의 3-9를 이용해 를 구할 수 있다.

이 공식대로 값을 구하면 , 이고

엑셀 함수를 이용해 arccos의 값을 구하고 소수점 두자리까지 나타내면 41.59이다.

3.4-(12)

다음의 두 벡터 가 서로 직교함을 보이고 두 벡터를 정규화하여 직교정규벡터가 되게 하라.

풀이) 이므로 직교이고 , 이므로 정규화하면 직교정규벡터가 된다.

3.5

벡터의 선형결합과 생성집합

3.5-(14)

다음과 같은 벡터 집합에서 첫 번째 벡터가 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 보이라.

1)(4,0) ; (-1,2),(3,2),(6,4)

풀이) 에서 (6,4)는 2(3,2)로 바꿀 수 있으므로

이다. 그래서 이므로 가우스 졸단 소거법을 이용해 선형연립방정식을 풀면 이다.

의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

3.5-(16)

다음의 벡터 집합이 를 생성함을 보여라.

1) (1,1),(1,-1)

풀이) 의 임의의 벡터를 (x,y)라고 하면 어떤 벡터(x,y)도 (1,1)과 (1,-1)의 선형결합으로 생성할 수 있음을 보이면 된다. 그래서 이 식을 (14)번 처럼 선형연립방정식을 x와 y 각각에 대해서 만들고 가우스 졸단 소거법으로 을 x와 y로 나타내면 이다. 이제 어떤 x,y에 대하여도 다음의 식이 만족된다.

벡터(1,1)과 (1,-1)은 을 생성한다.

3.6

벡터의 선형독립과 선형종속

3.6-(18)

다음과 같은 의 벡터 가 있을 때, 이들 벡터들이 선형독립인지 선형종속인지를 설명하라.

풀이) 를 임의의 스칼라라고 하면 이들 벡터들의 선형결합에 의한 방정식을 다음과 같이 나타내고 대입할 수 있다.

이것을 계산하기 위해 풀어내면 이고

연립방정식을 풀면, 이므로 만약 이면 이 되므로

즉, 방정식 을 만족하는 모두 0은 아닌 스칼라 가 존재하므로 벡터 는 선형종속이다.

3.6-(20)

다음과 같은 벡터 들이 에서 선형독립임을 보여라.

풀이) (18)번 문제처럼 이라는 식을 세우고 벡터를 대입했을 때,

이 식들을 세울 수 있고, 이 식들을 가우스 졸단 소거법을 이용하여 풀면

이므로 즉, 방정식 을 만족하는 은 모두 0이므로 벡터 는 선형독립이다.

3.7

기저와 차원

3.7-(22)

벡터 가 의 기저가 됨을 보이라.

풀이) 3.6에서 문제를 푼 것처럼 이 벡터들이 선형독립임을 보이기 위해

식을 세우고 대입하여 연립방정식으로 만든다. 아래의 연립방정식들을 가우스 졸단 소거

법을 이용하여 풀면, 는 모두 0이므로, 는 선형독립이고

가 을 생성함을 보이기 위해 임의의 벡터 을 의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 보이면 된다. 이 식을 세우고 벡터를 대입하고, 이 연립방정식을 풀면 이므로 모든 임의의

벡터 를 의 선형결합으로 나타낼 수 있으므로 을 생성한다.

따라서, 벡터 은 의 기저이다.

3.7-(24)

의 두 벡터 과 에 대하여 를 의 정규직교기저의 선형결합으로 나타내 보라.

풀이) 의 정규직교기저를 라고 한다면,

이고, 따러서 이다.

분할행렬

분할행렬과

블록대각행렬의 예시

블록대각행렬

행렬방정식의 풀이

행렬식의 풀이

연습문제 5.1-(4)

연습문제 5.3-(9)

의 임의의 벡터의 수평축에 대한 반사 변환의 표준 행렬 를 구하고

엑셀을 이용하여 그 예를 그래프로 보이라.

연습문제

5.3-(10)

고유값 구하기

2-2) 다음의 2x2행렬들에 대하여 특성방정식, 고유값을 구하라.

고유값 구하기

3-1) 다음의 3x3행렬들에 대하여 특성방정식, 고유값을 구하라.

고유벡터 구하기

4-2) 연습문제 (2), (3)번의 행렬들에 대한 고유벡터를 구하라.

고유벡터 구하기

4-4) 연습문제 (2), (3)번의 행렬들에 대한 고유벡터를 구하라.

행렬의 대각화

5-2)대각화 가능여부를 판별하고 유사변환을구하라. 그리고 각 행렬과 유사한 대각행렬을 구하라.

행렬의 대각화

5-4)대각화 가능여부를 판별하고 유사변환을구하라. 그리고 각 행렬과 유사한 대각행렬 을 구하라.

행렬의 대각화

6-1) 다음 각 행렬에 대하여 연습문제 (5)에서 구한 대각행렬을 통해 6-2가 성립함을

확인하라.

행렬의 대각화

6-2) 다음 각 행렬에 대하여 연습문제 (5)에서 구한 대각행렬을 통해 6-2가 성립함을

확인하라.

행렬의 대각화

6-3) 다음 각 행렬에 대하여 연습문제 (5)에서 구한 대각행렬을 통해 6-2가 성립함을

확인하라.

행렬의 대각화

6-4) 다음 각 행렬에 대하여 연습문제 (5)에서 구한 대각행렬을 통해 6-2가 성립함을

확인하라.

케일리-해밀턴정리

7-2) 다음의 2x2행렬들에 대하여 케일리-해밀턴의 정리를 이용하여,

나타낼 때, ㅇ 를 구하라.

케일리-해밀턴정리

7-4) 다음의 2x2행렬들에 대하여 케일리-해밀턴의 정리를 이용하여,

나타낼 때, 를 구하라.

케일리-해밀턴정리

8-1)다음과 3x3행렬들에 대하여 케일리-해밀턴의 정리를 이용하여 그 역행렬을 구해보라