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Transcript

Actividad Tic Matematicas

III

Juan Andres Pirachican

Indice:

INDICE

1. Experimento aleatorio.

2. Espacio muestral y evento.

3. Principio de la multiplicación – 1 ejemplo.

4. Permutaciones-2 ejemplos.

5. Combinaciones-2 ejemplos.

6. Probabilidad de un evento.

7. Propiedades de la probabilidad.

Experimento Aleatorio

Exp. Aleatorio

Un experimento aleatorio es aquel en el cual se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados sera el que se va a obtener antes de realizar el procedimiento.

Ejemplos:

Ejemplos

-EJEMPLO 1: Al lanzar un dado de sies caras, es probable que caiga el número uno, pero es imposible que caiga el número nueve.Imposible

-EJEMPLO 2:Que llueva en Bogotá. Muy probable.

-EJEMPLO 3: Sacar una carta con un número par , entre seis tarjetas de números pares. Seguro.

Espacio Muestral

y

Evento

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Evento: Un evento es un conjunto formados por elementos del espacio muestral con la caracteristica de que todo evento es un subconjunto de espacio muestral.

Espacio Muestral y Evento

Ejemplos

Ejemplos:

Espacio Muestral: En el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}.

Evento: -Experimentos: Lanzar un dado

-Existen 6 resultados posibles:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

-Eventos:

Sacar un número par: {2, 4, 6}

Sacar un 3: {3}

Sacar un 1 o un 3: {1, 3}

Sacar un 1 y un 3: { } (Sólo puede salir un número, por lo que esto es imposible. El evento no contiene resultados.)

Principio de la Multiplicacion

Principio de Multiplicacion

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

Ejemplo

Ejemplo

Si se tiene una caja con 5 tornillos de diferente longitud y se extraen 3 tornillos de uno en uno con sustitución ¿Cuántas formas hay de seleccionar los tornillos?.

Solución:

Cada tornillo puede seleccionarse de 5 formas en cada ocasión y como la operación se repite 3 veces, habrá (5)(5)(5) = 53 = 125 formas de seleccionar los tornillos.

Permutaciones

Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.

Permutaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 1

-Sea el conjunto {M, Z, A}, ¿cuántos grupos de tres letras diferentes se pueden formar?

Si buscamos los diferente grupos, obtenemos:

{M, Z, A}, {M, A, Z}, {Z, M, A}, {Z, A, M}, {A, M, Z}, {A, Z, M} →= obtenemos 6 permutaciones

Ejemplo 2

Ejemplo 2

-En una fila de 8 butacas de un cine, ¿cuántas formas diferentes de sentarse 8 personas existen ?

Solución:

Primero verificamos que estamos ante una Permutación:

Se toman todos los elementos del grupo (se sientan en cada butaca cada una de las 8 personas) →= correcto

No se repiten elementos (no puede haber la misma persona repetida en varios asientos) =→ correcto

El orden importa (no es lo mismo que una persona se siente en un asiento que en otro) →= correcto

Después de comprobar que efectivamente se trata de una permutación, calculamos el número de formas diferentes en las que se pueden sentar:

n = 8 personas

P8 = 8! = 8 ·. 7 ·. 6 ·. 5 .· 4 .· 3  .· 2 · 1 =  40.320 permutaciones

Combinaciones

Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto orden

Una combinación es una selección de objetos sin importar el orden en que se escojan.

Combinaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 1

- Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

Ejemplo 2

Ejemplo 2

-En una heladería tienen se venden helados de dos sabores diferentes, ¿cuántos helados de sabores diferentes podemos elegir entre los sabores de Fresa, vainilla, chocolate, limón y naranja?

Solución:

Primero verificamos que estamos ante una Combinación:

No se toman todos los elementos del grupo (se toman solo de dos en dos) →= correcto

No se repiten elementos (los helados son de dos sabores diferentes) →= correcto

El orden no importa (un helado de chocolate y vainilla es el mismo que uno de vainilla y chocolate) =→ correcto

Después de comprobar que efectivamente se trata de una combinación, calculamos el número de helados diferentes:

m = 5 sabores diferentes

n = 2 (helados de dos sabores

Cmn = C52 = 5! / [2! (5-2)!] = 5! / (2! · 3!) = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) / (2 · 3 · 2) = 10 combinaciones

Probabilidad de un evento

Propiedades de la Probabilidad

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