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Distribuciones
69
Simulación
DN6C
A_D/2020
Modesto Hernández Resendíz
Modelos Estáticos
Representa el sistema en un cierto instante de tiempo; y en su formulación no se considera el avance del tiempo.
Introducción
Suponga: un modelo matemático simple de cantidad de material en un almacén de una fábrica
Stock = Stock inicial + Material entrada - Material consumido por la fábrica
Éste tipo de modelo es muy útil cuando el sistema se encuentra en equilibrio (no evoluciona respecto al tiempo)
Modelos Dinámicos
permiten deducir cómo las variables de interés del sistema en estudio evolucionan respecto al tiempo.
Suponga: modelo dinámico es la evolución de material en un stock, que depende de los flujos de entrada y salida, cada uno de los cuales conlleva implícito la evolución del tiempo.
Modelos Dinámicos
Evolución del stock = Flujo de entrada – Flujo de salida
Modelos Dinámicos
Las ecuaciones siguientes describen matemáticamente la evolución de un stock suponiendo que las variables de interés evolucionan de manera continua o discreta respectivamente, donde Fi y Fo representan los flujos de entrada y salida del almacén.
Modelos Dinámicos
Modelo Determinista:
si su nuevo estado puede ser completamente definido a partir del estado previo y de sus entradas. Es decir, ofrece un único conjunto de valores de salida para un conjunto de entradas conocidas.
Modelo Determinista
Suponga: Un menú de opciones en un sistema de página web.
Modelo Estocástico (Probabilístico)
Requieren de una o más variables aleatorias para formalizar las dinámicas de interés. En consecuencia, el modelo no genera un único conjunto de salida cuando es utilizado para realizar un experimento, sino que los resultados generados son utilizados para estimar el comportamiento real del sistema.
Modelo Estocástico
Suponga: Un lanzamiento de dados o una tómbola de números.
Modelos Continuos
Representan la evolución de las variables de interés de forma continua. En general suelen utilizarse ecuaciones diferenciales ordinarias si se considera simplemente la evolución de una propiedad respecto al tiempo, o bien ecuaciones en derivadas parciales si se considera también la evolución respecto al espacio.
Modelos Continuos
Modelos Discretos
caracterizan por representar la evolución de las variables de interés de forma discreta.
Modelos Discretos
Suponga: un sistema permite cambios de un momento a otro, por ejemplo las filas de atención en un banco, filas del supermercado, etc.
Es importante notar a partir de la clasificación de modelos realizada, que es posible describir un sistema continuo mediante un modelo discreto y, al revés, también es posible describir un sistema discreto mediante un modelo continuo.
Por ejemplo...
es posible encontrar modelos continuos de flujos de coches en una autopista donde se ha escogido una formulación continua cuando los objetivos del estudio se centran pongamos por caso en evaluar la evolución de los flujos ante un accidente o bien cuando se recorta un carril, en que el movimiento de un coche carece de importancia.
por ejemplo
Características que debe cumplir un buen modelo:
Características de un buen modelo
• Un modelo es un objeto o concepto que utilizamos para representar cualquier otra entidad (un sistema). Así pues, mediante un proceso de abstracción, se muestran en un formato adecuado las características de interés de un objeto (sistema) real o hipotético.
• Un modelo es una representación simplificada de un sistema que nos facilitará explicar, comprender, cambiar, preservar, prever y posiblemente controlar el comportamiento de un sistema.
Características que debe cumplir un buen modelo:
Características de un modelo
• Un modelo es el sustituto de un sistema físico concreto.
• Un modelo debe representar el conocimiento que se tiene de un sistema de modo que facilite su interpretación, formalizando tan sólo los factores que son importantes para los objetivos de modelado.
• Un modelo debe ser tan sencillo como sea posible, porque el desarrollo de modelos universales es impracticable y poco económico, siempre y cuando represente adecuadamente los aspectos de interés.
Modelos de Simulación de Eventos Discretos
son modelos dinámicos, estocásticos y discretos
MSED
en los que las variables de estado cambian de valor en instantes no periódicos del tiempo. Estos instantes de tiempo se corresponden con la ocurrencia de un evento.
un evento se define como una acción instantánea que puede cambiar el estado del modelo.
Otros elementos de interés de los modelos de eventos discretos son:
Actividades
Entidades
Otros Elementos de los MSED
son los objetos que llegan, se procesan y salen del sistema
Entidades temporales
medios gracias a los cuales se pueden ejecutar las actividades
Recursos o Entidades Permanentes
Sistema Orientado a Eventos Discretos
Peaje de una autopista, al cual llegan coches de modo aleatorio y en el cual se desea prever el tiempo de espera de los coches en las colas en función del número de taquillas abiertas. Considerando, por ejemplo, los cambios de estado de una taquilla (libre, ocupado), puede observarse que los instantes de tiempo en los cuales aparecerá un cambio, obedecen a un patrón aleatorio. en la gráfica se ha representado el estado de una de las taquillas de un peaje, indicando con el valor 1 que la taquilla se encuentra libre y con valor 0 que la taquilla se encuentra ocupada.
Ejemplo
En el modelo del sistema del ejemplo descrito anteriormente, los eventos que pueden ocurrir son:
• La llegada de un vehículo a la cola.
• Inicio del pago del peaje.
• Fin del pago y salida del sistema.
Alternativas en la simulación de modelos de eventos discretos
El modelo de un sistema representa las dinámicas de interés del sistema en un estudio particular
Alternativas
y la simulación consiste en realizar un experimento sobre el modelo del sistema de tal modo que los resultados generados por el simulador permitan prever con cierta exactitud los resultados que se obtendrían realizando el mismo experimento sobre el sistema real.
Suponga.. .sistema de procesado de ordenes
Suponga...
Los parámetros más significativos del sistema son:
• En promedio, se reciben 10 órdenes cada día.
• Hay dos tipos de órdenes, las ordinarias y las prioritarias: el 40% de las órdenes son ordinarias y el 60% restante son prioritarias.
• En promedio, una orden ordinaria requiere 2 horas de proceso y una orden prioritaria 4 horas.
• Solo se aceptan órdenes hasta la 1 de la tarde.
Simulación a partir de una visión estática
no interviene directamente el tiempo (solo se basa en valores promedio),los resultados serían:
órdenes ordinarias = 4 órdenes/día * 2 horas/orden = 8 horas/día
órdenes prioritarias = 6 órdenes/día * 4 horas/orden = 24 horas/día
capacidad necesaria = 8 + 24 = 32 horas/día
capacidad disponible = 4 trabajadores/día * 8 horas/día = 32 horas/día
porcentaje de utilización = capacidad necesaria/cap. disponible * 100=100%
Simulación del modelo
es posible analizar el comportamiento del sistema llegando a conclusiones erróneas, como que no existe ningún retraso en las órdenes y que los recursos humanos están aprovechados en un 100%.
Perspectiva estocástica y discreta
Es necesario formalizar los distintos eventos que afectan a las variables de interés del estudio, tenga en cuenta...
Actividades que deben realizarse como consecuencia de la aparición de dichos eventos.
Instantes de tiempo en que pueden aparecer dichos eventos
Simulación a mano
acciones ligadas al evento de expedición de una orden
se simula la dinámica del proceso en el cual la llegada de órdenes es aleatoria.
Análisis
Muestra para cada una de las órdenes la hora de llegada, el tiempo que está en cola, el tiempo de procesado y la hora de expedición.
A continuación se muestra también de forma tabular los resultados de la simulación a mano
A continuación se resume el comportamiento del proceso observado mediante la simulación manual:
tiempo de ciclo promedio para órdenes ordinarias = 8 h/4 órdenes = 2 h/orden
tiempo de ciclo promedio para las prioritarias = 30 h/6 órdenes = 5 h/orden
tiempo promedio en la cola = 6 h/10 órdenes = 0.6 h/orden
tiempo máximo en la cola = 3 h
nivel de servicio promedio = 7 órdenes a tiempo / 10 órdenes = 70%
3 trabajadores han tenido que trabajar un total de 6 horas extras para completar las órdenes
Muestra de resultados
Conclusión
Aunque inicialmente parecía que el diseño del proceso era el adecuado, las llegadas aleatorias provocan colas y retardos posteriores en el procesado de las órdenes. Se ha observado que las llegadas aleatorias provocan desviaciones significativas respecto al comportamiento esperado inicialmente.
Para efectuar la simulación anterior, se ha supuesto conocido el número de órdenes que llegan en cada franja horaria. Sin embargo, en la práctica diaria, esta secuencia precisa de tiempos puede no ser conocida dado que:
• el proceso simulado todavía no existe en la realidad,
• o se desea simular el comportamiento de un sistema real según condiciones diferentes de operación.
Conclusión
Refinamiento
Simulación
Variables Aleatorias
Distribuciones para V. A. Discretas
Distribución Discreta
Una variable discreta es aquella que está en condiciones de adoptar valores de un conjunto numérico dado. Es decir: solo adquiere valores de un conjunto, no cualquier valor.
Entre los valores potencialmente observables de una variable discreta existe una distancia que resulta imposible de “completar” con valores intermedios.
Binomial
Poisson
Uniforme Discreta.
Uniforme
Jacob Bernoulli conoció sobre los trabajos de Fermat, Pascal y Huygens referentes a la probabilidad, y así concluyó que el modelo ideal que ellos propusieron para establecer la forma como se comportan los fenómenos aleatorios se basaba en una «Distribución Uniforme y Frecuentista» de la probabilidad.
juego de azar, al ser equiprobable, debe aparecer homogéneamente y según sus probabilidades una determinada cantidad de veces dentro de un número de jugadas realizadas.
Teorema de Bernoulli o «Ley de los Grandes Números», que en su primera formulación afirma que la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio se mantiene constante sin importar el aumento en
el número de jugadas, lanzamientos o ensayos realizados.
Uniforme Discreta
Se considera un experimento aleatorio arbitrario, y se observa una característica numérica que toma un número finito de valores, x1, . . . , xn, todos con la misma probabilidad.
MODELO PROBABILÍSTICO
Función de Probablidad
Función de Probabilidad
Ejemplo
Un empleado es seleccionado de un grupo de 10 personas, para supervisar un proyecto extrayendo una papeleta al azar de una caja que contiene 10 papeletas (1 al 10).
Si v.a. (x) = número de la papeleta extraída, todas las papeletas tienen las mismas posibilidades de ser extraídas.
A. Encontrar la probabilidad de la papeleta extraída sea la quinta
B. Cuál es la probabilidad de que el numero extraído sea mayor o igual a 3?
Solución.
A) Encontrar la probabilidad de que la papeleta extraída sea la quinta
P(x1) = P(x2) = P(xn) = 1/n = 1/10
Entonces:
P(x=5) = 1/10
Solución
Solución.
B) Cuál es la probabilidad de que el número extraído sea mayor o igual a 3
P(x>= 3) =1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10= 8/10
B)
Distribuciones Continuas
Distribución Continua
Una variable continua puede tomar un valor fijo dentro de un intervalo determinado. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua. Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores.
Uniforme Continua
Una variable aleatoria continua X sigue una distribución uniforme en el intervalo [a,b], y se denota como X ≈ U(a, b), cuando su función de densidad es:
Función de Distribución:
Ejemplo
Ejemplo
Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes, concertando con sus clientes una ganancia de 1200 pesos por acción. Por experiencias anteriores, se sabe que los beneficios de cada acción son independientes y se distribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000)
¿Qué probabilidad tiene el corredor de no perder dinero?.
Solución ejercicio Uniforme Continua
Solución Uniforme Continua
X = "Ganancia por acción" y
G ="Ganancia total del corredor de bolsa"
G= 50 * (X − 1200) = (50 * X) − 60000
X-> U(1000, 2000) entonces la función de densidad ser: f(x) = 1/ (2000-1000)
y su función de distribución:
F(x) = (x-100) / (2000-1000)
1000 ≤ x ≤ 2000
Solución Uniforme Continua
P[G≥ 0] = P[50.X − 60000 ≥ 0]
= P[50.X ≥ 60000]= P[X ≥ 1200] =
Solución Uniforme Continua
El corredor tiene una probabilidad de ganancia del 80%
Distribución Triangular
Triangular
El nombre de esta distribución viene dado por la forma de su función de densidad. Este modelo proporciona una primera aproximación cuando hay poca información disponible, de forma que sólo se necesita conocer el mínimo (Valor pesimista), el máximo (valor optimista) y la moda (valor más probable). Estos tres valores son los parámetros que caracterizan a la distribución triangular y se denotan por a, b y c, respectivamente.
Distribución triangular
esto es..
Función de densidad
Para poder obtener la función de densidad de la distribución Triangular consiste en dividir el triángulo de dos areas, y establecer dos ecuaciones, una para cuando es la secciónA1 y la otra para sección A2
Función de densidad
Función Densidad y Distribución
Función Dens/Prob
Las funciones de densidad y distribución quedan finalmente así
En resumen
Media y Varianza
Para calcular la media y la varianza se tiene lo siguiente:
Varianza
Algoritmo para generar variable aleatoria triangular
algoritmo para v. a.
Los valores de a, b y c son conocidos. Calcule (b-c)/(c-a).
1.- Generar dos Números Aleatorios uniformes R1 y R2
2.- Es R1< (b-c)/(c-a) ?
- Si, entonces calcular x= a+(b-a)√R2
- No, entonces calcular x= c-(c-b)√(1-R2)
3.- La cantidad encontrada en el punto 2, es el valor generado por la variable aleatoria triangular.
4.- Repetir los pasos anteriores tantas veces lo desee.
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