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Transcript

Integración por partes

Academia de Ciencias Exactas.

Universidad Del Noreste, área de Preparatoria.

Integrales por fórmula directa

Previo

Selección de fórmula

Bloque 9-18

Bloque 1-8

Incluye fórmulas para integración de constantes y funciones algebraicas

Incluye fórmulas para integración de funciones trigonométricas, incluyendo aplicación de identidades trigonométricas

¿Hay algo más?

Bloque 19-26

Incluye fórmulas para integración de funciones que incluyen expresiones de la forma u^2±a^2

¿Existen funciones que no se adaptan a las fórmulas proporcionadas?

Revisión del diferencial

Obtención del diferencial

a) Identificar la expresión "u"

b) Derivar la expresión "u" y expresarlo multiplicando a "dx"

c) Comparar el diferencial obtenido con el problema propuesto para determinar si está completo o, de lo contrario, completarlo.

Aplicación de la fórmula

Para solucionar la integral...

Revisamos el diferencial

Se sustituye siguiendo indicaciones de la solución de la fórmula elegida

Se hacen simplificaciones algebraicas

Se completa el diferencial si es necesario

Ahora...

¿Y si no hay fórmula directa que coindica con mi problema?

Integración por partes

Fórmula 27

∫udv=uv-∫vdu〗

Se usa para integrar funciones cuando:

a) El diferencial no está completo ni puede completarse por falta de variable independiente.

b) No se cuenta con una fórmula directa para ese tipo de función (por ejemplo, funciones logarítmicas o trigonométricas inversas).

Selección de las partes

Para seleccionar "u" y "dv"...

  • dx siempre es parte de dv.
  • debe ser posible integrar dv.
  • cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, ordinariamente es mejor elegir la de apariencia más complicada, con tal que pueda integrarse, como parte de dv.

Integremos ∫x(e^3x)dx

Ejemplo

Selección de partes

∫x(e^3x)dx

Selección de partes

1ero. dx siempre es parte de dv.

2do. Debe ser posible integrar dv.

3ero. Elegir la de apariencia más complicada

dv= _______ dx

Considerando lo anterior, la elección de dv es:

dv= e^3x dx,

entonces u=x

Tenemos dos opciones:

dv= x dx

o

dv= e^3x dx,

ambas pueden integrarse por fórmula directa.

Obtención de "du" y "v"

Aplicación de la fórmula

∫udv=uv-∫vdu〗

Es necesario obtener todas las partes que conforman la solución en la fórmula 27, por lo tanto:

  • Si u= x, entonces du= dx (se obtiene derivando, como cualquier diferencial).
  • Si dv= e^3x dx, entonces v= (1/3)(e^3x) (se obtiene integrando por fórmula directa, en este caso la #7)

NOW

Q1

Q2

Q3

Q4

Sustitución en la solución de la fórmula 27

Aplicación de la fórmula

De acuerdo a nuestra fórmula: ∫udv=uv-∫vdu〗

Procedimiento

Procedimiento

∫x e^3x dx = x (e^3x)/3 - ∫(1/3)(e^3x) dx

= x (e^3x)/3 - (1/3)∫(e^3x) dx*

(se integra por fórmula 7)

= x (e^3x)/3 - (1/9)(e^3x) + c

¿Vemos otro ejemplo?

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