ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR

Ramirez Vera, Andrea

Celis Bacilio, Edson

Siccha Malca, Johnny

Rojas Victoria, Yanina

Meza Alvarado, Lucia Romina

Daphne, a fin de encontrar la hora de muerte, hizo uso de la ley de enfriamiento de Newton. Para ello, uso los siguientes datos.

ECUACIONES DIFERENCIABLES

• 5:30 _ Se encoentro el cuerpo de Joe D. Wood
• 6:00 am: Llego el forense y realizo la primer control de temperatura.
• 6:30 am: Segundo control de temperatura
• Primer calculo de la temperatura general del cadaver: 85 grados Fahrenheit
• Segundo calculo de la temperatura general del cadaver: 84 grados Fahrenheit
• Temperatura del termostato en el interior del refrigerador: 50 grados Fahrenheit

La ecuación de Glaister nos permite conocer el tiempo transcurrido desde que se produjo la muerte del individuo.

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

Se concentra en encontrar el valor de una funcion partiendo de la relacion entre esta y sus respectivas derivadas.

HORA DE MUERTE

Determinada por tener un valor u(t - a) = 0 para todos los valores menores que t < a y un valor u (t - a) = 1 para todos los valores t > a.

y= (x + 1) / y

dy/ dx = (x + 1) / y

donde,

k = constante de proporcionalidad

Tm = temperatura ambiental

T = temperatura del cuerpo

t = tiempo

LEY DE GLAISTER / LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Para t= 0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a positivo.

dy/dx = (x + 1) / y

y (dy) = (x + 1) dx

∫y (dy) = ∫ x + 1) dx

y^2/2 = x^2/2 + x + c

y^2 =x^2 + 2x + c

1) Resuelva la ecuación (1), que modela el escenario en el que Joe Wood es asesinado en el refrigerador. Utilice esta solución para calcular la hora de la muerte (recordemos que la temperatura del cuerpo normal vivo es de 98.6 grados Fahrenheit).

2) Resuelva la ecuación diferencial (3) mediante transformadas de Laplace. La solución T(t) dependerá tanto de t como de h (utilice el valor de k que se halló en el problema 1).

3) (SAC) tabla completa de Daphne. En particular, explique por qué grandes valores de h dan la misma hora de la muerte.

4) ¿A quién quiere interrogar Daphne y por qué?

5) ¿Aún siente curiosidad? El proceso de cambio de temperatura en un cuerpo muerto se denomina algor mortis (rigor mortis es el proceso de endurecimiento del cuerpo ), y aunque no está perfectamente descrito por ley de enfriamiento de Newton, este tema está cubierto en la mayoría de los libros de medicina forense.

TRANSFORMACIONES DE LAPLACE

- La transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas.

f(x) = x^2

d/dx x^2 = 2x

∫ x^2 dx = 1/3 x^3 + c

- Es un operador lineal frecuente para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

PARADIGMAS

L [ f (t)] = F (s) = ∫ e^(-st) f(t) dt

donde

L: operador de conversion de Laplace

u(t) = 0 -> t < 0

1 -> t > 0

DATOS:

- h= horas fuera del refrigerador

- k= - 2 ln(34/35)

CÁLCULOS APLICANDO LAPLACE

TABLA DE DAPHNE

Ecuación 2:

dT/dt=k( T - (50 + 20U( t - h )))

dT/dt =kT - 50k - 20kU( t - h )

Ayudandonos con las transformaciones

de Laplace:

- L{dT/dt} = L{kT} - L{50k} - L{20KU(t - h)}

sF(s) - F(0) = kL{T} - 50kL{1} - 20kL{U (t - h)}

sL{T} - 85 = kL{T} - 50kL{1} - 20kL{U(t - h)}

L{T}(s - k) = 85s/s - 50k/s - 20 (ke^ (-hs))/s

L{T(t)} = (85s - 50k - 20ke^(-hs))/ s(s - k)

SOSPECHOSOS

Usando el método de fracciones parciales:

(85s - 50k - 20ke^(-hs))/ s(s - k) = A/s + B/(s - k)

(1)... S=k

B = 35 - 20ke^(-hk)

(2)... S=0

A= 70

L{T(t)} = 70/s + (35 - 20e^(-hk))/ (s - k)

T(t) = 70 + (35 - 20e^(-hk)) (e^kt)

T(t) = 70 + 35e^(kt) - 20e^(k(t - h))

Cocinero

Ex esposa: Twinkles

Ecuación 1: dT/ dt = k (T - Tm)

EXPLICACIÓN

Gráfica de función exponencial

Gráfica de función exponencial inversa

ASESINATO

EN EL RESTURANTE MAYFAIR

T(t) = 35.e^(- 2ln(34/35)t) + 50

98.6= 35.e^(- 2ln(34/35)t) +50

1.38857= e^(- 2ln(34/35)t)

ln(1.38857)= - 2ln(34/35)t

0.328275= - 2ln(34/35)t

t=5.662355357

- dT/dt = k (T - Tm)

dT/(T - Tm) = k . dt

∫dT/(T - Tm) = ∫ k . dt

ln |T - Tm| = kt + C

e^ (kt + C) = T - Tm

T = C . e^ (kt) + Tm

- Le damos a T= 85, para t=0

85 = C . e^ k(0) + 50

C = 35

- Le damos a T= 84, para t= -1/2

84 = C . e^ k(-1/2) + 50

85 = C . e^ k(0) + 50

34/35 = e^ k(-1/2)

ln (34/35) = -1/2k

k = - 2 ln (34/35)

- Punto de partida: 6:00 am

t=1 -> Retrocede una hora

t= 5.66 -> Retrocede 5 horas con 39 minutos

Hora de muerte= 12:21 am

CAMBIO EXPONENCIAL

Amanece en el restaurante Mayfair, la luz ámbar de las farolas mezcladas con el flash rojo violento de las patrullas de policía comienza a desvanecerse al levantarse un sol anaranjado. La detective Daphne Marlow sale del restaurante sosteniendo una humeante taza de café caliente en una mano y un resumen de las pruebas de la escena del crimen en la otra. Toma asiento en la defensa delantera de su patrulla y comienza a examinar las pruebas...

HORA DE MUERTE

Se conoce como función exponencial a la función f de variable real cuya regla de correspondencia es:

f(x) =a^x

Si a>0 , x pertenece a todos los reales

Corredor de apuestas: Slim

Si tomamos la premisa de que x= xo; cuando t= 0

Xo = A

Función general:

x = xo e^(kt)

Ecuación diferencial: dy/ dt = ky

dx/x = kdt

∫dx/x = ∫ kdt

ln |x| = kt + c

|x| = e^(kt + c)

|x| = Ae^(kt)

DISCUSIÓN

CONTINUE...

CÁLCULOS MÁS REALES

Ecuación de Glaister:

t= (98.4 - To) / 1.5

t= (98.4 - To) / k (To - Tm)

Ecuación lineal: y = mx + b

donde:

m: pendiente , m= dT/ dt = k (To - Tm)

b: constante, b= To

y:= f(x) = T

T = kt (To - Tm) + To

98.4 = kt (To - Tm) + To

t = (98.4 - To) / (k (To - Tm))

ECUACIÓN DE GLAISTER

ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR