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Instituto Tecnológico de Hermosillo
Base y Dimensión de un
Espacio Vectorial
Base:
Álgebra Lineal
Teorema y Definición
Ejemplos de dimensión:
La base de un espacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que se extiende sobre un espacio vectorial determinado y es linealmente independiente en el mismo.
Esto es, si tenemos un espacio vectorial V y tenemos S como un subconjunto de este espacio vectorial, el cual consiste de n vectores de la forma v¬1¬, v¬2¬, v¬3¬ … v¬n¬ entonces podemos definir que este subconjunto es la base del espacio vectorial dado, si cumple las dos condiciones siguientes:
1.Este subconjunto se extiende a través del espacio vectorial dado.
2.S es subconjunto de V conteniendo los vectores de V, los cuales son linealmente independientes.
Propiedades de una Base
1. ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).
2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. Una base de M2x2 es:
Dimensión:
.
Contreras Humberto
Gomez Jose Alberto
Coronado Alma
La dimensión de un espacio vectorial V es el número de vectores en la base de V. Si este número es finito, entonces V es un espacio vectorial de dimensión finita.
De otra manera, V se llama el espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces V es de dimensión cero.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.