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오목 다각형에 대한 고찰
6. 오목정다각형의 넓이의 해석
목차
이제 오목다각형의 넓이에 대하여 생각해보자.
아래의 그림은 오목한 다각형이다. 그렇다면 넓이는 어떤 부분일까?
서론
1. 연구문제
2. 용어정리
탐구
1. 볼록다각형과 오목다각형의 정의
2. 오목다각형의 작도법
3. 오목다각형의 한내각
4. 오목다각형의 일반화에 의한 명칭
5. 볼록정닥가형의 일반화된 넓이의 공식에서의 오목정다각형
6. 오목정다각형의 넓이의 해석
이러한 도형의 넓이의 해석에는 두 가지 방식이 있다.
첫 번째는 닫힌 영역을 하나의 점들의 집합으로 보고 각각의 점들의 집합을 같은 둘레를 가진 단순다각형(simple polygon)으로 해석하는 방식이다. 그러므로S1,S2,S3 를 모두 단순다각형으로 해석하므로 S1+S2+S3가 된다. 두 번째는 특정한 영역(region)이 중첩(multiplied)되어 영역에 밀도(density)가 있으며, 아래와 같은 도형에서 반대부호의 밀도(opposite-signed densities)가졌다고 해석하는 방식이다.
따라서 아래의 그림에서는 부호를 화살표방향이 시계방향인지 반대방향인지에 따라 구분하게 된다.
그러므로 S1+S3-S2가 된다.
2. 오목정다각형의 작도법
초록(Abstract)
결론
n에 대하여 뛰어넘는 칸수a에 대하여 n과 a가 공약수를 가지게 된다면, a는 n(꼭짓점)만큼 곱하지 않아도 n의 배수(n만큼 회전하여 시작점과 끝점이 만난다)가 될 수 있다. 볼록정각형에서 오목정각형을 만들려하면 과의 공약수가 있는 숫자만큼 칸을 이동시키면 모든 점을 지나가지 못하게 된다.
이와 같이 a가 n과 공약수를 가지게 된다면 오목다각형이 성립되지 않는다. 그리고 을 어떤 방향으로 칸 움직인 것은 칸만큼 반대방향으로 움직인 것과 같다.
볼록다각형과 오목다각형의 정의를 정리하였고 볼록다각형에서의 대각선과 꼭짓점의 관계와 다각형의 성질을 이용하여 오목다각형의 작도법과 오목다각형의 성립조건과 오목n각형의 가짓수, 그리고 오목n각형의 한 내각을 볼록n각형에서의 n과 간격a와의 관계로 정리하였다. 수학의 일반화를 이용하여 오목n각형의 일반화된 명칭을 정리하였다. 오목정다각형의 넓이의 해석방법에 관하여 조사하였다. 또한 볼록다각형의 넓이의 공식을사용하여 구한 오목다각형의 넓이와 오목다각형의 넓이의 해석에 따른 넓이를 비교하였다.
이에 따라 다음의 오목정오각형에서의 넓이는 이 두 가지로 해석이 가능하다.
볼록다각형의 대각선을 연장한 직선은 항상 양쪽으로 꼭짓점을 나눈다.
어떠한 볼록다각형에서 꼭짓점 A,B,C중에 A와 B가 인접하고 B와 C가 서로 인접한 볼록다각형에 대하여 점B의 위치가 B1이면 오목다각형이 되고 B2이면 각ABC가 180도가 되어 도형의 한각이 되지 않는다. 따라서 가 되어야하므로 대각선을 이은 직선은 반드시 꼭짓점을 양쪽으로 나눈다
오목정다각형을 그릴 때 정다각형의 같은 길이의 대각선을 이용하여 내부에 그리게 되면 모든 각이 같고 모든 변의 길이가 같으며 오목한 오목정다각형이 나오게 된다. 또한 모든 꼭짓점과 연결된 변의 개수가 2개이므로 선을 떼지않고 연결하여 그리는 것이 가능해야한다.
위의 성질들을 이용하여 오목정육각형을 그려보자.
서론(Introduction)
이 논문은 오목(Concave)정다각형에 대하여 연구 하는 것을 목적으로 한다.
1. 연구문제
우리는 동아리 활동 중에 오목다각형을 접하게 되었다. 그때 오목다각형의 정수가 아닌 명칭에 호기심을 느꼈고 오목다각형에 대하여 연구해 보고 싶다고 느꼈다. 오목다각형의 명칭이 한 각도에서 도출되었다는 것을 알고 난 뒤 넓이와의 관계를 알아보고 싶었다. 이 논문에서는 오목다각형의 볼록다각형으로 일반화된 명명법이 넓이에도 적용이 되는 여부 대하여 증명의 방법으로 설명하고자 한다. 이 논문은 그륀바움의 관점에서 본 정다각형이다. 또한 이 논문에서의 명명법은 수학의 일반화에 의한 정의로써 기술한다.
1. 볼록다각형과 오목다각형의 정의
2. 용어정리
정다각형 : 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같은 다각형.
대각선 : 다각형에서 서로 인접하지 않은 꼭짓점을 연결한 선분.
단순다각형 : 교차점이 없는 다각형.
펜타그램 : 오각형 내부의 다섯 개의 선분으로 이루어진 별모양.
원주각 : 원주 위의 한 점에서 그은 서로 다른 두 개의 현이 만드는 각, 중심각의1/2
일반화 : 개별적 사실에서부터 일반적 법칙을 귀납하는 것.
볼록정다각형의 정의는 변의길이가 모두 같고 각의 크기 또한 모두 같은 볼록다각형으로 변의 수가 n개일 때 정n각형이다. 오목다각형은 볼록다각형이 아닌 모든 다각형이다. 그런데 볼록다각형은 어떤 꼭짓점과 이웃한 꼭짓점사이를 이은 직선에 대하여 한쪽에만 다른 꼭짓점이 존재하는 도형이다. 따라서 오목다각형은 어떠한 꼭짓점과 이웃하는 꼭짓점사이를 이은 직선의 양쪽에 꼭짓점이 존재하는 도형이다.
또한, n과 a가 공약수를 가지게 되면
n-a도 n과 공약수를 가지게 된다.
이에 따라 a는 n과 공약수를 가지지 않고 이다.
또한 정n각형에서 어떠한 방향으로 a만큼 간 것은 그 반대방향으로n-a만큼 간 것과 같기 때문에 a와 n-a를 순서쌍으로 짝지어준다. 그러므로 순서쌍의 개수가 볼록정n각형에서의 오목정n각형의 개수가 된다
이번엔 A점에서 시계반대방향으로 세 칸씩 이동하였다. 그 결과 오목다각형은 여전히 만들어지지 않았다.
위의그림에서 직선AB에 대하여 좌측의 볼록다각형은 모든 꼭짓점이 직선AB의 한쪽에만 존재하지만 우측의 오목다각형은 모든 꼭짓점이 직선AB의 양쪽에 존재하게 된다.
위의 그림에서 A점에서 시계반대방향으로 두 칸씩 이동하였다. 그 결과 오목다각형은 만들어지지 않았다.
5.볼록정다각형의 일반화된 넓이의 공식에서의 오목정다각형
3. 오목정다각형의 한 내각
4. 오목정다각형의 일반화에 의한 명칭
이제 오목정다각형의 한각의 크기를 알아보자. 정n각형에 대하여 a칸씩 이동한 오목정n각형에 대하여 한각의 크기는 원주각의 성질을 이용하여 한 각을 이루는 각에 대하여 2a<n이고, 전체 원주에 대한 비율이 n:n-2a 일 때 한각의 크기는
2a>n 이면, 따라서 한각은 ①
결론
이 연구를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 오목정다각형의 작도법을 알아보았다. 둘째, 오목정다각형을 작도할 때의 오목정다각형이 성립할 조건을 알아보았다. 셋째, 오목정다각형의 한 내각의 크기를 일반화시켰다. 넷째, 그에 따른 오목정다각형의 일반화된 명칭을 알아보았다. 다섯째, 볼록다각형의 일반화된 공식을 구하였다. 여섯째, 오목다각형의 넓이의 해석의 방식을 알아보았다. 일곱째, 그에 따른 오목정오각형의 넓이를 구하고 일반화된 볼록다각형의 공식에 볼록다각형으로 일반화된 오목다각형의 명칭을 대입한 후 결과를 비교하였다.
그러한 결과, 오목다각형의 명칭은 비록 볼록다각형으로 일반화 되었을지라도 볼록다각형으로 일반화된 공식에 사용할 수가 없다. 이것으로 우리는 일반화의 한계에 대하여 알 수 있게 되었다.
감사합니다
담당선생님:김소라
선동수,지승훈,전효기