Caos determinista en la interacción gravitatoria Javier Lopez

¿En qué consiste el problema de los 3 cuerpos?

3 Cuerpos

En mecánica clásica este problema consiste en determinar la posición de dos partículas puntuales en función del tiempo, interactuando estas partículas entre sí. Esto se da en casos tan comunes como un satélite orbitando a un planeta que a la vez está en la órbita de una estrella. A pesar de su sencilla apariencia este ha dado dolores de cabeza a bastantes matemáticos y físicos de gran prestigio.

¿En qué contexto histórico se plantea?

Este problema surge a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton y de la segunda Ley de Newton. Resuelto el problema de los dos cuerpos, Jean d'Alembert enombró el problema de los tres cuerpos en el año 1749, mas complicado y que se mantuvo un largo tiempo abierto. Parecía facil ya que uno de los cuerpos es fijo y hay que calcular el movimiento de los otros dos con 2 ecuaciones en lugar de una, pero esto presenta ecuaciones no lineares que en muchos casos no tienen solución

Contexto

histórico

Jean le Rond D'Alembert (1717-1783)

¿Quién lo intenta resolver?

Personas

que participaron

• Charles-Eugène Delaunay estudió entre 1860-1867 el Sistema Tierra-Luna-Sol. En su trabajo ya entra el caos e intenta resolverlo como un problema de dos cuerpos que sufren una alteración de un tercero.
• Pierre Simon Laplace afirma en 1776 que conociendo la velocidad y posición de todas las partículas se puede predecir el pasado y el futuro de estas. Durante mas de 100 años esto parecía correcto.
• Los deterministas afirman que conociendo las leyes de los fenómenos estudiados, las condiciones iniciales y si existe solución se puede conocer el futuro del sistema que se quiera estudiar.
• A finales del siglo XIX Henri Poincaré demuestra que no existe una solución válida para un tiempo infinito ya que todo el sistema cambia con la mas mínima perturbación. Por esto Poincaré es considerado precursor de la teoría del caos.

Henry Poincaré (1854-1912)

¿Hasta dónde quedó resuelto?

¿Quedó

resuelto?

Un caso particular fue resuelto por Lagrange que demostró que en cinco posiciones este problema podría ser resuelto y llamó a estos puntos de Lagrange.

Pero la primera solución general la dió Laplace en 1776 que enunciaba que conociendo velocidad y posición de todos los cuerpos podrías determinar el pasado y el futuro de todos los cuerpos, pero esto no era correcto.

A día de hoy se pueden hacer aproximaciones de varias precisiones y se pueden calcular y predecir las trayectorias, sin embargo cualquier variación del resultado inicial puede encadenar una gran variación, fenómeno que es conocido como efecto mariposa.

Atractor, que refleja el movimiento futuro de un sistema caótico

Los puntos de Lagranje

Puntos de Lagrange

Intentando resolver el problema de los 3 cuerpos Lagrange hizo un gran descubrimiento. Los puntos de Lagrange o puntos L son 5 puntos en los que una masa pequeña respecto a otras 2 mas grandes puede posicionarse. Este caso se da a la hora de enviar satelites a la orbita terrestre (influyen la Tierra y Luna). Gracias a estos puntos se puede mantener un objeto en una posición fija en el espacio y no orbitando a otro con mayor gravedad

5 puntos de Lagrange representados en el sistema Tierra-Luna-Sol

Caos determinista respecto a la interacción gravitatoria

Caos

Determinista

Es imposible determinar la posición de un objeto en cada momento en el problema de los tres cuerpos, solo se pueden hacer aproximaciones hechas a ordenador. Por tanto se considera un sistema determinista. La más mínima interacción puede provocar enormes cambios en la trayectoria pero no es posible saber como de grande será. En resumen se le llama caos determinista ya que a pesar de que tiene solución (determinista) cualquier cambio puede cambiar por completo el resultado (sistema caótico)

El efecto mariposa expresa como el batir de alas de una mariposa puede sentirse en todo el mundo. Es el ejemplo mas famoso que explica el funcionamiento de un sistema caótico

Utilidad práctica a dia de hoy

Utilidad

Práctica

La investigación durante siglos de este problema no ha sido en vano. A pesar de su falta de solución ha día de hoy se han calculado miles de soluciones y de posibilidades. Además en su investigación Lagrange descubrió 5 puntos en los que un objeto puede estar inmóvil en el sistema Tierra-Luna. Hace siglos esto no era mas que una curiosidad pero ahora tienen importancia debido a los satélites que se pueden colocar en tales posiciones. Por ejemplo en el punto L2 se encuentra el satélite WMAP y gracias a que no esta en órbita puede encarar Sol y Tierra al mismo tiempo. Como curiosidad, en el punto L5 Gerard K. O'Neill planteaba formar una colonia en los años 70 llamada The High Frontier, algo que un gran número de personas apoyaron.

Sonda WMAP enviada por NASA en 2001