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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
3
Fundamentos de Algebra
Grupo: 1AV4 Salón: 3102
PROFESORA: POSADAS DURAN GABRIELA
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
DIVICIÓN
Los números complejos
Arturo Portal
DEFINICIÓN: El sistema de los números complejos "C" es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con 2 operaciones binarias, adición y multiplicación
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Adición
Multiplicación
¡VIDEO!
Refresquemos la memoria
Recordemos..
Números complejos : forma binómica
A los números complejos se les denomina con "z"
Los números complejos son expresiones matemáticas con esta forma:
a + bi
a= parte real
b= parte imaginaria
FORMA BINÓMICA: "a + bi "
¡Pues hay 2 términos!, "a" y "b"
Con lo anterior dicho podemos concluir que:
a=Re (z)
b=imag (z)
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS:
Clases
HAY 3 TIPOS DE CLASES:
COMPLEJOS CONJUGADOS: Z= a+bi Z= a- bi
tienen real pero opuesta la parte imaginaria
COMPLEJOS IGUALES: Z1= c+di Z1=Z2
Z2= e+fi
c=e d=f
COMPLEJOS OPUESTOS: Z= a+bi Z= -a-bi
mismos valores con distintos signos
Los números complejos (adición y multiplicación)
Rodrigo Jimenez
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
ADICIÓN Conmutativa
Adición conmutativa:
ADICIÓN
Dados dos números complejos a+bi y c+di se tiene la igualdad:
(a + bi) + (c +di) = (c + di) + (a + bi)
Ejemplo:
(2 - 3i) + (-3 + i) = (2 – 3) + i (-3 +1) = -1 – 2i
(-3 + i) + (2 – 3i) = (-3 + 2) + i ( 1 – 3 ) = -1 – 2i
Adición asociativa
Dados tres complejos a+bi , c+di y e+fi se cumple:
[(a + bi) + (c +di)] + (e + fi) = (a + bi) + [(c + di) + (e+ fi)]
Ejemplo:
[(5 + 2i) + (3 - 4i)] + (-9 +8i) = (8 – 2i) + (-9 +8i) = -1 + 6i
(5 + 2i) + [(3 – 4i) + (-9 + 8i)] = (5 + 2i) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i
MULTIPLICACIÓN conmutativa
Dados dos complejos a+bi y c+di se cumple que:
(a + bi) (c + di) = (c + di) (a + bi)
MULTIPLICACIÓN
MULTIPLICACIÓN asociativa
Ejemplo:
(7 – i ) (5 + 2i) = 35 + 14i – 5i – 2i^2 = 35 + 9i – 2 (-1) = 37 + 9i
(5 + 2i) (7- i) = 35 – 5i + 14i – 2i^2 = 35 + 9i – 2 (-1) = 37 + 9i
MULTIPLICACIÓN
distributiva
MULTIPLICACIÓN asociativa
Dados dos complejos a+bi , c+di y e+fi se cumple que:
[(a + bi) + (c +di)] (e + fi) = (a + bi) [(c + di) + (e+ fi)]
Ejemplo:
[( 2- 3i) (5 + i)] (4 – 7i) = (10 + 2i – 15i – 3i^2) (4 – 7i) = (13 – 13i ) ( 4 – 7i ) =
= 52 – 91i – 52i + 91i^2 = -39 – 143i
( 2- 3i) [(5 + i) (4 – 7i)] = (2 - 3i) (20 – 35i + 4i – 7i^2 ) = (2 – 3i) (27 – 31i) =
= 52 – 62i – 81i + 93i^2 = -39 – 143i
MULTIPLICACIÓN
distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a+bi , c+di y e+fi se cumple:
(a + bi) [(c + di) + (e +fi)] = (a + bi) (c + di) + (a + bi) (e + fi)
Ejemplo:
( 1- 2i) [3i + (2 – 7i)] = (1 – 2i) (2 – 4i ) = 2 – 4i – 4i + 8i^2 = -6 – 8i
(1 – 2i) 3i + (1 – 2i) (2 -7i) = (3i – 6i^2) + (2 – 7i – 4i + 14i^2)
= (3i + 6) + (-12 – 11i) = -6 – 8i
RESTA
(a + bi) - (c + di)=(a - c) + (b-d)i
Problema:
(-3 + 3i) – (7 – 2i )
(-3 + 3i) – (7 – 2i )=
-3 + 3i – 7 + 2i
-3 – 7 = -10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
-10 + 5i