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수학적 배경
2장의 줄을 준비하고 하나는 1,2,3,4,5,6,..의 길이(그 단위가 무엇이라도 좋다)가 되도록 표시를 하고, 다른 하나는 1,1,2,3,5,8,...의 길이가 되도록 표시를 하자.
그 다음 표시한 곳에서 90도로 꺽으면서 접어나간다. 이것이 보여주는 모양의 차이는 어떨까?
등각나선은 나선이지만 모든 나선이 등각나선은
아니다. 이 등각나선이 무엇인가에 대한 직관상을
얻기 위해서는 다른 나선과 비교해 보는 것이
유용하다. 그 중 하나가 아르키메데스나선이라는
것이 있다.
여기에는 감아놓은 밧줄이나 시계태엽, 두루말이
화장지 그리고 유전정보를 저장하고 있는 이중나선
(double helix) 등이 있다. 이것들은 등각나선이
아니다.
이 둘의 차이를 이해하기 위해서 다음 그림을 보자.
아르키메데스 나선은 특별하면서도 잘 정의된 나선이지만 자연에서 쉽게 볼 수 있는 나선은 아니다.
아르키메데스나선의 경우 각 코일들간의 간격이 일정한데 대해서 등각나선의 경우 코일들간의 간격이 기하급수적으로 증가한다. 전자의 경우 그것의 증식은 외부로부터 오며 선행항에 그것이 덧붙여진다.
등각나선의 경우 내부로부터 성장해가는 것이며 아무것도 바깥에서 덧붙여진 것이 아니다.
이것은 자기증식의 본질로서 생명체의 성장과 닮아있다.
등각 나선 탐구
연구동기
소라와 같은 연체동물의 성장방식은 우리와는 다르다. 어린이는 전체가 일정한 비율로 커지면서 성인으로 성장한다. 그러나 소라의 성장방식은 이와는 다르다. 벽돌을 쌓듯이 부분들을 계속 중첩시켜가면서 성장한다. 소라는 성장에 따라 그 모양을 일정하게 유지한다. 우리는 세 가지 질문을 던져 보았다.
우리가 배운 등각나선은 이것과 관련이 있을까?
어떻게 해서 이것이 가능한 것인가?
우리주변에 이런 나선들이 정말 많이 존재하는 것인가?
이런 질문에 답하며 찾아가는 길이 재미있을 것 같다는 생각이 들었다.
* 사천중 : 백인우
* 삼천포중 :
장진영, 구민욱
* 남양중 : 정재효
* 사천여중 : 박주희
1) 등각나선의 길이를 피타고라스 정리를 이용하여 구하면 과정이 복잡한데 삼각함수에 대하여 알면 비교적 간단하게 구할 수 있을 것이다. 앞으로 삼각 함수에 대하여 좀더 공부해 보고 싶다.
2) 우리는 평상시 직교좌표를 이용하여 그래프를 표현하는 방법을 배우고 설명하였다. 곡선을 표현하려고 하니 축으로 나타내는 것보다는 로 표현하고 나타내는 것이 더욱 많이 있었다. 이런 표현 방법을 극좌표라고 한다. 특히 등각나선을 공부하다보니 대부분의 등각나선은 극좌표로 표현하고 있었다. 아직은 부족하지만 앞으로 극좌표를 공부해보고 나선뿐만 아니라 다양한 곡선을 탐구해 보고 싶다.
향후의 연구과제
"반경벡터가 극좌표의 극점O 주위를 일정한 속도로 운동하고 있다면 그위를 일정한 속도로 운동하고 있는 점p가 그리는 궤적이 아르키메데스나선이다."
반경 r은 등차수열적 증가를 보여준다. 이 나선의 특징은 회전수가 증가함에 따라 처음의 모양이 어떠했든 상관없이 원을 닮아간다는 점이다. 이것은 우리가 돗자리를 감아가면 처음 모양에 상관없이 원형을 닮아간다는 것을 통해서 쉽게 이해할 수 있다.
점 p가 일정한 속도로 이동하는 대신 "극점O에서의 거리에 따라 속도가 증가하는 방식으로 이동한다면 그것이 그리는 궤적은 등각나선이다." 그래서 코일간의 간격은 일정한 비율로 선행회전에서의 코일간의 간격 보다 길어진다. 아르키메데스 나선의 경우 반경은 회전할 때마다 a를 2로 두었을 경우 길이가 2,4,6,8의 비율로 증대하지만 등각나선의 경우 4,16,64,256,로 증가한다. 그래서 전자의 경우는 코일간격이 2로 항상 일정하지만 후자의 경우는 회전에 따라 코일간의 간격이 12,48,192..로 급격히 벌어진다.
이 등각나선을 발견하고 황금나선은 이것의 특수한 경우라는 것을 밝힌 사람은 데카르트였다.