Modul 4

Modele cu parametrii distribuiți 1

Cazul 1:

Modele pentru sisteme în care variabile precum concentrația, sau temperatura variază în volumul de fluid în funcție de poziție. Aceste modele constau în ecuații diferențiale ordinare sau ecuații cu derivate parțiale.

Considerați că un fluid la 20°C este alimentat într-un cilindru de lungime (L) 60 m și rază (R) 0.2 m la debitul (Q) de 4 mc/h; tubul schimbă căldură cu o manta prin care circulă fluid la 300°C. Să se determine profilul axial al temperaturii în interiorul tubului. Considerați că sistemul este în stare staționară, că nu există gradienți angulari sau radiali de temperatură în interiorul tubului, și că difuzia termică nu este importantă în nicio direcție (axială, radială sau angulară).

Abordarea începe prin definirea volumului de control, care nu poate fi întregul volum întrucât temperatura variază în volumul de fluid; considerându-se o felie de grosime Δx în care temperatura variază atât de puțin încât poate fi considerată constantă, acest volum de control poate fi tratat ca sistem cu parametrii concentrați în absența gradienților radiali sau angulari de temperatură.

Legea de conservare a energiei pe volumul de lungime Δx:

I – E = 0;

Transferul de energie prin convecție:

Ecuația de bilanț devine:

sau

În ipoteza că ρ și Cp nu variază cu temperatura, ecuația devine:

cu condiția inițială: la x = 0, T = 20 °C

Pentru ρ = 900 kg/mc, Cp = 3000 J/kg °C, și

U = 60000 J/h mp °C, profilul de temperatură rezultat va fi:

Cazul 2:

Să ne imaginăm că în exemplul anterior fluidul din manta își modifică instantaneu temperatura de la 300°C la 200°C. Ca urmare, sistemul va trece de la o stare staționară la alta printr-un regim dinamic în care profilul de temperatură variază în timp. Cum se va modifica profilul axial de temperatură al fluidului din tub în condițiile în care ipotezele simplificatoare rămân valide?

Modelarea sistemului va necesita utilizarea de ecuații cu derivate parțiale întrucât temperatura variază atât în lungimea tubului, cât și în timp.

Se consideră același volum de control de lungime Δx, pentru care bilanțul poate fi scris:

Intrări

Ieşiri

Transferat

prin manta

Cantitatea de căldură acumulată în volumul de control în timpul Δt poate fi scrisă ca diferență între căldurile la momentele t și t + Δt:

Bilanțul energetic în timpul Δt devine:

Această ecuație cu derivate parțiale impune utilizarea a două condiții inițiale, una referitoare la poziția în lungimea tubului și una referitoare la temperatură. Astfel, condiția inițială pentru această ecuație este: la t = 0 și x = 0, T = 20°C.