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Lo publicó por primera vez en 1838 en: "Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses"
Modelo para describir las decisiones de producción en un caso de competencia imperfecta, a saber, duopolio (solo dos empresas con cierto poder de mercado)
Al ser un modelo de duopolio, los jugadores son las dos empresas: 1 y 2.
Los jugadores poseen asimetría de información sobre la cantidad de producto que producirá la otra empresa; por lo que cada una deberá decidir la cantidad no negativa de producción que sea la mejor respuesta a cualquier estrategia de su competencia.
El bien que producen las dos empresas es homogéneo (poco diferenciado). Y solo pueden fijar cantidades, no precios-por lo menos no directamente-. No hay un convenio previo entre empresas.
Las distintas cantidades (variable continua) no negativas que cada empresa puede producir del bien homogéneo; además las empresas deciden en simultaneo.
Por lo tanto s = {q ≥ 0}
S = Conjunto de Posibilidades de producción definido en [0, +∞)
Las ganancias de cada jugador, para cada combinación de estrategias posible; la determina su función de beneficios empresariales π
Para cada empresa: π (q , q )
Puesto a que la cantidad es la variable dependiente, se usa la función inversa de la demanda del mercado del bien:
P(Q) = a - Q
"Precio en función de la cantidad total del bien en el mercado"
"a" captura el límite de producción que posee cada empresa; ninguna empresa que desee maximizar su beneficio quisiera producir una cantidad mayor que "a"
Por lo tanto, se impone que: Si Q > a; P(Q > a) = 0, lo cual es indeseable
A la suma de las cantidades producidas por cada empresa, es decir:
Q = q + q
Supuesto del modelo original
Solo existen costos variables, no fijos
"Brindar validez de largo plazo al modelo"
C (q ) = c q
Costo por unidad adicional de producción es constante
Supuesto adicional: c < a
Recordando la definición formal
s debe ser solución a:
Máx u (s , s )
Máx π ( q , q )
(q ,q ) Deben ser el resultado de:
Se especifica la función: π = I - G = p*q - C (q)
π = q * p(Q) - c q
π = q * p(q + q ) - c q
π = q [ p(q + q ) - c]
Recordar: P(Q) = a - Q
π (q ,q ) = q [ a - (q +q ) - c]
Máx π (q ,q ) = q [ a - (q +q ) - c]
π
q a - q -q q - q c
a - 2q - q - c
0
2q = a - q - c
q = (a - q - c)
q = (a - q - c)
q = (a - q - c)
2F -> F
F - F -> F
(-2/3)F -> F
F -(1/2)F -> F
q = q =
Como todo sistema de ecuaciones lineal, se puede encontrar una solución gráfica
Se utiliza las funciones de mejor respuesta de cada jugador (empresa):
q = (a - q - c)
R (q ) = (a - q - c)
q = a - c - 2q
q = (1/2)a - (1/2)c - (1/2)q
La C.P.O se convierte en:
q = (a - c) = Q
Que es la cantidad de producción monopólica
A esa cantidad, le corresponde un beneficio conjunto de:
π =
Para obtener este beneficio, de manera conjunta , cada empresa debería producir: q / 2
q =
Con el beneficio conjunto:
π =
Para ello, la cantidad total debe ser: 2 q
Q =
Puesto a que 2/3 > 1/2; asumiendo "a" y "c" constantes. Se afirma que la cantidad agregada (total) del equilibrio de Nash es mayor que la monopólica.
Le corresponde un precio de equilibrio más bajo y un beneficio también menor
Debido a que la solución de monopolio no es estratégicamente estable; pues al ser menor la cantidad agregada, el precio de equilibrio es mayor (así como el beneficio) y existen incentivos para desviarse del acuerdo y producir más
Así, la cantidad agregada del E.N disminuye los incentivos para aumentar el nivel de producción conjunta
Al darse cuenta las empresas, que hacerlo disminuiría el precio aún más
Teóricamente: Si la E.I.E.E.D, da una única solución, esa solución es un equilibrio de Nash
Al ser una variable continua, cada paso requeriría eliminar una pequeña fracción del conjunto de posibilidades de producción de cada empresa. Se examinarán dos pasos y después se extrapolará a los n pasos necesarios
1) La cantidad de producción monopólica, domina estrictamente a cualquier cantidad mayor. Para cada empresa
Es decir que la función de beneficios, de cada empresa, evaluada en la cantidad de producción monopólica es estrictamente mayor a la misma función evaluada en cualquier cantidad mayor que q
Por lo que cantidades mayores a q son eliminadas (primer supuesto)
Segunda eliminación, ninguna empresa aceptará una cantidad más baja a la que supondría una repartición igualitaria de la cantidad agregada de monopolio (q /2 = )
Por lo tanto, la solución debe estar entre q y q /2
Estos pasos pueden repetirse ad infinitum, evaluando y comparando puntos entre el intervalo, hasta que la serie converja en el equilibrio único:
q = (a - c) / 3
Pero para que la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas funcione, es necesario que solo participen dos empresas en el juego
Puesto que, de existir más (asumiendo que todas tengan una estructura idéntica de beneficios), la racionalidad de cada una de ellas solo nos dice que no escogerán un nivel de producción superior al monopólico (precio se haría nulo)
Pero el proceso terminaría allí, puesto que si todas son racionales, una empresa i podría eliminar todos los niveles de producción mayores a (a - c)/2 pero dejaría abierta la posibilidad de que el resto de empresas produzcan un nivel agregado entre 0 y (a - c)
Por lo tanto, existe la posibilidad de que la cantidad agregada del resto de empresas diferentes de i sea = a - c - 2q
Por lo que la mejor reacción de i sería q
En otras palabras: "Cualquier cosa podría pasar"
i
m
*
i
m
(a - c)
____
4
m
a - c
_____
3
2
*
*
1
1
2
_
1
2
*
2
_
2
1
*
1
2
1
__
2
2
1
2
Se escoge cualquier método
2
*
1
2
1
2
1
2
i
j
i
2
=
i
j
i
Se reemplaza en π:
__
d
π
j
i
j
i
=
i
=
j
i
j
i
dq
j
i
j
i
<
≤
q
∞
0
i
j
i
_
1
i
2
j
_
1
*
_
1
*
2
1
2
1
2
*
i
*
i
j
s ∈ S
i
*
i
j
s ∈ S
j
1
2
1
2
CMg = C' = c
i
1
2
Gibbons, R. (1993). Un primer curso de teoría de juegos. Antoni Bosch Editor.
Pp. 14-23
Pérez, J., Jimeno, J. L., & Cerdá, E. (2004). Teoría de juegos.
Se define cada función de reacción según los ejes:
*
1
2
1
2
Comparar la decisión individual (monopólica) vs la decisión duopolica.
2
(a - c)
______
(a - c)
*
i
9
3
*
1
__
2
m
*
i
(a - c)
2
______
3
2
(a - c)
______
4
m
1) Traducción del problema a un juego en la forma normal
Describió su modelo después de observar el comportamiento de dos empresas "dueñas" del mercado de agua mineral en Francia
i
j