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수열의 극한(프랙탈)

일반적으로 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 an의 값이 일정한 값 a에 한없이 가까워지면, 수열 {an}은 a에 수렴한다고 한다.

*수렴

일반적으로 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때 an의 값이 한없이 커지면 수열 {an}은 양의 무한대로 발산한다고 한다.

*발산

수열의 극한의 실생활

수열의 극한이 사용된 것들 중 하나는

프랙탈 아트이다.

프랙탈[fractal]

이렇게 프랙탈은 우리 주변에서도 찾을 수 있으며 수학과 과학적인 부분에서도 찾아볼 수 있다.

작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이

되풀이 되는 구조

부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는

자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 구조를 말한다.

프랙탈 아트는 복소수 수열의 극한이나

함숫값의 무한반복의 성질을 이용하는 수학이

무한히반복되는 특성과 자기 유사성을 이용하여

만들어낸 디지털아트이다.

따라서 수열의 극한은 우리주변에서 없을 수 없는 존재이다.

수열의 극한

수열의 정의

수열의 극한이란?

정의역이 자연수 전체의 집합 N이고 공역이

실수 전체의 집합 R인 함수를 수열이라 한다.

첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라고 한다.

첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 한다.

프랙탈[fractal]

코흐 곡선

감사합니다.

예를 들어 위의 코흐 곡선 같은 것이 프랙탈 도형의 사례이다.

위의 도형은 아무리 확대해도 계속해서 들쭉날쭉하므로 1차원의 곡선은 아니고 자를 이용하여 도저히 그 길이를 측정할 수도 없게 된다.

시에르키 삼각형

칸토어 집합

시어핀스키 삼각형은 다음과 같은 차례로 만들어진다.

  • 정삼각형 하나를 그린다.

칸토어 집합은 다음과 같은 차례로 만들어진다.

  • 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다.
  • 이때 가운데에 있는 작은 정삼각형 하나를 제거한다.
  • 처음 구간은 맨 위에서 시작한다.
  • 처음 구간을 3등분한 후, 가운데 개구간을 제외한다. 그러면 두 번째 구간과 같이 된다.
  • 남아있는 3개의 작은 정삼각형 각각에 대하여 2와 같은 과정을 시행한다.
  • 2에서와 같이 두 구간 각각의 가운데 구간을 제외한다.
  • 이와 같은 과정을 계속해서 반복한다.
  • 3과 같은 과정을 무한히 반복한다.

칸토어 집합을 만드는데 각 단계에서 빠지는 길이는 차례로 1/3, 2/9, 4/27, 8/81,…이다. 이렇게 빠진 길이를 모두 합하면 어떻게 될까? 이것은 첫째항이 1/3이고 공비가 2/3인 등비수열이므로 그 합은 1이다. 즉, 무한 번 시행한 후의 칸토어 집합의 길이는 0이 된다.

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