1.Кинематика роботизированного механизма
Кинематика роботизированногомеханизма
Кватернионное представление ориентации,
впервые опубликованное Гамильтоном , было в значительной мере вытеснено более простыми векторными представлениями Гиббса и Грассмана , и оказалось чрезвычайно полезно для задач робототехники, приводящих к представлению неопределенности в векторно-матричном обозначении.
Кватернионы не имеют неопределенности, в отличие от углов Эйлера и фиксированных углов.
Представление позиции и ориентации
Пространственную кинематику твёрдых тел можно рассматривать как сравнительное исследование различных представлений о положении тела. Этими представлениями выражаются перенос и вращения, в совокупности составляющие смещения.
Положение и смещение.
Кинематика роботизированного механизма обуславливает его движение, без учета сил или моментов, которые это движение вызывают
Постоянные углы
Вектор из трех углов может также обозначать ориентацию системы координат i относительно системы координат j, где каждый угол представляет собой поворот вокруг оси неподвижной системы координат. Такие углы, соответственно, называют постоянными углами.Все постоянные угловые представления ориентаций имеют аналогичную вырожденность, описанную ранее для углов Эйлера. Кроме того, зависимость между производными по времени постоянных углов и вектора угловой скорости аналогична зависимости для углов Эйлера.
Положение начала системы координат i относительно системы координат j можно обозначить через вектор размера 3x1.
Компонентами этого вектора являются декартовы координаты Oi в системе j, которые являются проекциями вектора jpi на соответствующие оси. Компоненты вектора также могут быть выражены как сферические или цилиндрические координаты Oi в системе j.
Перенос - это смещение, при котором ни одна точка в твёрдом теле не остается в исходной позиции, а все прямые линии в твёрдом теле сохраняют параллельность по отношению к их начальным положениям.
Однородные преобразования
При однородных преобразованиях векторы позиции и матрицы поворота объединяются в компактные обозначения. Любой вектор ir, выраженный относительно системы координат i, может также быть выражен относительно системы координат j, если известны позиция и ориентация i относительно j.
Однородные преобразования особенно уместны, когда требуется компактное обозначение и/или когда простота особенно важна
Кинематика соединений
Матрицы вращения объединяются посредством простого матричного умножения, так что ориентация системы i относительно системы k может быть выражена как
Приведение винтовых преобразований к однородным преобразованиям и наоборот, с сокращениями:
Приведение винтового преобразования к однородному
Приведение однородного преобразования к винтовому
Винтовые преобразования или Теорема Шаля.
Теорема Шаля , состоит из двух частей. Первая из которых гласит, что:
Любое смещение тела в пространстве может быть достигнуто посредством перемещения обозначенной точки от ее начального положения до ее конечного положения, за которым следует поворот всего тела вокруг этой точки, для того чтобы привести его в конечную ориентацию.
Во второй части говорится, что:
Любое смещение тела в пространстве может быть достигнуто посредством вращения тела вокруг однозначно определенной прямой в пространстве, сопровождаемого перемещением тела параллельно этой линии.
Такая прямая называется винтовой осью, вторую формулировку обычно считают теоремой Шаля.