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Dinámica: Comportamiento de un proceso dependiente del tiempo. En la teoría del control se estudia básicamente la dinámica de dos tipos de sistema:
•Sistema de lazo abierto: Respuesta del sistema sin controladores o con un control en adelanto (feedforward).
•Sistema de lazo cerrado: Comportamiento del sistema ante un control por retroalimentación (feedback).
CASE-STUDY
Las Variables implicadas en la dinámica y control de sistemas son:
•Variables manipulables: Elementos del proceso que se pueden modificar para controlar la planta. Normalmente se trata de caudales.
•Variables controladas: Parámetros de proceso que se quieren controlar, ya sea para mantenerlos constantes o para seguir una cierta evolución con el tiempo.
•Variables no controladas: Variables del proceso que no son controladas aunque pueden ser medidas.
•Perturbaciones: Entradas al proceso que no pueden ser controladas pero que deben tener un valor fijo en el proceso.
Definiciones Básicas
Consigna (Set point): Es el valor deseado de la variable a controlar. Puede ser constante o variar con el tiempo.
Control por retroalimentación (Feedback): Se mide la variable controlada a la salida del proceso y se compara con la consigna (el valor deseado de la variable controlada). La diferencia (error) se alimenta al controlador por retroalimentación que modifica la variable manipulada; No requiere la identificación y medición de todas las perturbaciones.
Es insensible a los errores de modelado. Es insensible a los cambios de parámetros; Antes de tomar la acción de control espera a que la perturbación allá sido eliminada del sistema. Es insatisfactorio para procesos lentos con tiempos muertos significativos.
La respuesta de lazo cerrado puede crear inestabilidad.
Conceptos Generales
Estabilidad: Un proceso es inestable si su salida se va haciendo mayor (positiva o negativamente) con el tiempo.Todos los sistemas de lazo cerrado son inestables si la ganancia del controlador se hace lo suficientemente grande.
Elementos físicos de un sistema de control:
•Instrumentos de medida o sensores: Son los elementos de control encargados de medir las perturbaciones, las variables controladas. Son las principales fuentes de información de cómo va el proceso.
•Transductores: Elementos del sistema de control que convierten magnitudes físicas que no pueden ser utilizadas para el control en otras que sí lo pueden ser (una corriente eléctrica o una señal neumática)
•Líneas de transmisión: Llevan la señal desde el sensor al controlador y del controlador al elemento final de control. La transmisión acostumbra a ser eléctrica o neumática.
•Controlador: Recibe las señales de los sensores y decide la acción que se debe tomar.
•Elemento final de control: Es el dispositivo físico que lleva a cabo la decisión del controlador.
•Registradores: Proveen de un soporte visual y registro histórico del funcionamiento del sistema.
Sistema de control
Utiliza un sensor de nivel de ultrasonido que monitorea en forma permanente el nivel de líquido.
Un transmisor de nivel (LAN-100 Y LAT-100) envía esta información electrónicamente al controlador proporcional (LIC-100).
La manera en que este controlador por retroalimentación toma una decisión para mantener el punto de control, es a través del cálculo de la salida con base en la diferencia entre el punto de control y la variable que se controla (nivel del tanque), la cual se retroalimenta al controlador para que decida el cierre o apertura de la válvula mediante el envío de una señal neumática para compensar la perturbación.
Cuando el controlador detecta que el nivel aumentó por encima del punto de control, indica a la válvula que cierre, pero ésta cumple con la orden más allá de lo necesario. En consecuencia el nivel del líquido desciende por abajo del punto de control y, al notar esto, el controlador señala a la válvula que abra nuevamente un tanto para elevar el nivel. El ensayo y error continúa hasta que se alcance el punto de control, donde permanece posteriormente.
La estrategia de este sistema de control por retroalimentación compensa las perturbaciones, aunque sólo puede hacerlo luego de que dichas perturbaciones se hayan propagado por todo el proceso
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Análisis de estabilidad
Para que el circuito de control sea estable, todos los términos de la columna de la izquierda deben tener el mismo signo, positivo en este caso, y para esto se requiere que:
Criterios
En este caso, el límite inferior de Kc es negativo, pero no se tiene en cuenta debido a que una ganancia negativa indica que la acción del controlador no es la correcta.
Un sistema de control es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cual fuese su estado inicial.
Físicamente, un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se existe y, en tal caso, volverá al reposo una vez que desaparezca la excitación.
Criterio de estabilidad
Se utiliza la fórmula de la razón de asentamiento de un cuarto para hallar el parámetro de ajuste Kc del controlador proporcional.
Donde b1 es el coeficiente constante que se determina con el método de expansión de fracciones parciales.
Aplicando el valor de Kc anteriormente calculado se obtiene una respuesta convergente del proceso
Diámetro (D): 1.3m
Altura (H): 3.85m
Volumen (V): 5m3
Altura al 75% (H75%): 2.89m
Volumen al 75% (V75%): 3.84m3
Para que circuito de control con retroalimentación sea estable, todas las raíces de su ecuación característica deben ser números reales negativos o números complejos con partes reales negativas.
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El flujo de entrada menos el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque:
A continuación se analiza la respuesta h(t) para un cambio en la entrada de referencia.
Suponiendo un cambio escalón unitario en n(t), en donde x(t) = (l/Kt).r(t). La función de transferencia en lazo cerrado entre H(s) y X(s) se obtiene mediante:
Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es 1/s, al sustituir X(s) = 1/s en la ecuación nos lleva a:
De la definición de Resistencia (R), la relación entre q0 y h está dada por:
Dado que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es 1/s, al sustituir X(s) = 1/s en la ecuación y expandiendo H(s) en fracciones parciales, se obtiene esta expresión:
Para un valor constante de R la ecuación diferencial se convierte en:
La constante de tiempo del sistema es RC y aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación, suponiendo la condición inicial de cero:
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Resulta la función de transferencia del proceso de Primer Orden:
Flujo, resistencia, capacitancia, constantes de tiempo
La constante de tiempo es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63,2% de su valor final, representando la velocidad del sistema. Si la constante de tiempo es pequeña implica que el sistema es rápido y viceversa si la constante de tiempo es grande el sistema es lento.
Gc: Ganancia del controlador proporcional
Gv: Ganancia de la válvula
Gp: Ganancia del proceso
Gt : Ganancia del sensor-transmisor-transductor
La función transferencia es el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada. A partir de esta se puede obtener:
•La respuesta del sistema frente a una entrada determinada.
•La estabilidad del sistema (si la respuesta del sistema se va a mantener dentro de unos límites determinados).
•Que valores se pueden aplicar al sistema para que permanezca estable.
Las características de la función de transferencia dependen únicamente de las propiedades físicas de los componentes del sistema, no de la señal de entrada aplicada.
Siendo su denominador la ecuación característica:
La ganancia indica cuanto cambia la variable de salida por unidad de cambio de función de forzamiento o variable de entrada; es decir, la ganancia define la sensibilidad del proceso.