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Referências Bibliográficas

Conclusão

Farmer, J. D. Chaotic Attractors of an infinite-dimensional dynamical system. Dynamical Systems Group, Santa Cruz, USA. 1981

Ferrara, N. F. Caos: Uma Introdução. 416p. 1994

Kot, M. Elements of Mathematical Ecology. Cambridge, Cambridge University Press, 2001

Moreira, I. C.; Sistemas Caóticos em Física - Uma Introdução. Revista Brasileira de Ensino de Física. vol. 15, no 1 a 4, 1993.

Nichols, J. M.; Todd, M. D.; Trickey, S. T.; Pecora, L. M.; Moniz, L. Controlling system dimension: A class of real systems that obey the Kaplan - Yorke conjecture. PANS, vol. 100, no. 26 p. 15299-15303. 2003

Paiva, W. P. A Teora do Caos e as Organizações. Mestrado em Economia e Administração. Caderno de Pesquisas em Administração, vol. 8 no. 2, 2001

Roth, B.A. F. Determinação de pontos fixos e órbitas periódicas em sistemas caóticos. Dissertação de Mestrado. São José dos Campos, 2003.

Theiler, J. Estimating the Fractal Dimension f Chaotic Time Series. The Lincoln Laboratory Journal, vol. 3, no. I. 1990

http://www.mettodo.com.br/pdf/A%20Teoria%20dos%20Caos%20e%20as%20Organizacoes.pdf

http://vps.fmvz.usp.br/promat/LotkaVolterraIntro.htm

http://www.ifi.unicamp.br/~aguiar/Papers/2012/OecologiaAustralis.pdf

http://fisica.fe.up.pt/eic2107/acetatos/aula18.html

http://www.professores.uff.br/salete/caos.htm

Sistema de Lorenz

  • Como está relacionada a sistemas complexos, a teoria do Caos ainda está em desenvolvimento;
  • Na pratica, aplica-se muito bem no que diz respeito a relações cotidianas, assim como em relações na natureza;
  • Nota-se que a teoria possui aplicabilidade evidente nos campos da Engenharia, Medicina e Economia;
  • Por tratar-se de um modelo que contempla situações complexas e dinâmicas, aplica-se muito bem nos estudos das ciências ambientais, tendo em vista a instabilidade e imprevisibilidade de sistemas naturais.

http://dcm.ffclrp.usp.br/man/upload/paiva.pdf

http://www.puc-rio.br/pibic/relatorio_resumo2009/relatorio/fis/simone.pdf

http://www.lsi.usp.br/~rponeves/work/caos/liapunov.html

http://ecologia.ib.usp.br/ecopop/doku.php?id=alunos:2012:mawade:exec6

http://www.ecodebate.com.br/2012/07/11/relacoes-entre-abordagens-da-teoria-do-caos-e-meio-ambiente-artigo-de-roberto-naime/

http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-e-a-teoria-do-caos

Em 1960, o meteorologista, Edward Lorenz desenvolveu modelos computacionais dos padrões do tempo. De acordo com seus resultatos, a semente da "Teoria do Caos" foi disseminado. Foram os primeiros estudos do que depois se denominou ‘atrator estranho’.

Efeito Borboleta e Ciências Ambientais

O desaparecimento de espécies animais tem consequências diretas na vida no homem.

A derrubada de florestas também tem impacto direto na vida dos seres humanos

O meteorologista Edward Lorenz apresentou um modelo meteorológico para as correntes de convecção do ar em planos verticais, a partir de 3 equações:

Onde x (amplitude das correntes de convecção),  y (a diferença de temperaturas entre as correntes ascendente e descendente), e  z (o desvio da temperatura normal no plano). Os parâmetros sigma, b e r são positivos e dependem das propriedades físicas do fluxo de ar

  • Pequenas mudanças ou pequenos erros em um par de variáveis produziam efeitos tremendamente desproporcionais;
  • Para um período de uns dois dias, elas mal faziam diferença; mas extrapolando-se para um mês ou mais, as mudanças produziam padrões completamente diferentes.

Ao observarmos os resultados dos estados das equações de Lorenz e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a algo que se chama “atrator estranho”.

Atrator Estranho de Lorenz

Efeito Borboleta:

Pequenas flutuações no ar, causadas pelas asas de uma borboleta, podem gerar consequências inimagináveis.

Chaos is a good thing, change is what comes of it.

- Septima Poinsette Clark

Teoria do Caos

Expoentes de Lyapunov em dimensões maiores

O conceito de expoente de Lyapunov pode ser extendido para aplicações em ℝm para m >= 1.

No caso unidimensional, a ideia é medir a taxa de separação de pontos próximos ao longo da reta. Em dimensões maiores, o comportamento local do sistema pode variar de acordo com a direção. Pontos próximos podem estar se distanciando ao longo de uma direção, e movendo-se

juntos ao longo de outra.

Para uma aplicação em ℝm, cada órbita tem m expoentes de Lyapunov, que medem a taxa exponencial de separação do ponto da órbita atual ao longo de m direções ortogonais. Essas direções são determinadas pela dinâmica da aplicação.

A primeira será a direção ao longo que a separação entre pontos próximos é maior (ou a menos contraída, se a aplicação está se contraindo em todas as direções).

A segunda será a direção de maior separação, escolhida de todas as direções perpendiculares à primeira.

A terceira terá o maior esticamento de todas as direções perpendiculares às primeiras duas direções, e assim por diante.

O fator de esticamento de cada uma dessas direções escolhidas são os expoentes de Lyapunov da órbita.

Expoente de Lyapunov

  • Expoentes de Lyapunov referem-se a uma forma de medir (infinitesimalmente) a taxa exponencial em que órbitas próximas se afastam.
  • Evolução caótica: resultado da combinação de um número finito de expansões de pelo menos uma direção e contrações em outras direções.
  • É extremamente difícil, senão impossível na prática, seguir a evolução de um fluxo caótico quando a divergência das trajetórias sobre o intervalo caótico torna-se rápida.

O russo Alexander M. Lyapunov (1857 – 1918) desenvolveu um método de medida do afastamento de uma função de dois pontos iniciais considerando que a taxa de distanciamento entre eles seja exponencial. Ou seja, o expoente de Lyapunov determina o grau de caos que um determinado sistema dinâmico possui.

Em determinações computacionais, quanto maior o número de interações, maior a precisão dos valores obtidos. Existem métodos matemáticos para determinação do expoente de Lyapunov.

Para movimentos caóticos, lambda é positivo (> 0) ;

Para um ponto de equilíbrio estável lambda é negativo (< 0);

Para uma oscilação periódica lambda é zero (= 0) .

A magnitude de um expoente de Lyapunov positivo também indica a velocidade de divergência de dois caminhos.

A partir do séc. XX

  • 1963: meteorologista Edward Lorenz defrontou-se com o mesmo movimento cáotico descrito anteriormente por Poincaré quase cem anos antes, e vislumbrou a existência de uma importante propriedade associada a evolução caótica, que é a extrema sensibilidade a variações das condições iniciais.

(Roth, 2003)

  • Quando se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico.

Atualmente

  • O comportamento cáotico é observado na natureza, sendo o responsável por importantes fenômenos que ocorrem nas mais diversas áreas.
  • A presença de não-linearidade pode levar o sistema ao caos.
  • O movimento cáotico é tão comum na

natureza que inúmeros experimentos até então considerados como irregulares devido à presença de ruídos estão sendo reavaliados para verificar a presença de caos.

Roth, 2003

Histórico

Teorema de Poncairé - Bedixon

Poincaré

Em 1880, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos

Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios.

O teorema de Poincaré-Bendixon foi provado, pela primeira vez, por Poincaré a partir de observações do espaço e da órbita dos planetas em 1886 e em 1901 uma prova mais rigorosa foi realizada por Bendixon.

Teorema Poincaré - Bedixon

O teorema não permite recorrência, uma trajetória que parte do ponto P no plano pode num primeiro momento voltar perto de P mas depois ela é condenada a nunca mais voltar.

O ciclo-limite é considerado ao contrário a teoria do caos pois é uma trajetória que não dinstigue da trajetória periódica.

Ele descreve a trajetória de espaços bidimensionais fechados, ou seja, para sistemas muito pequenos e possibilita entender essas trajetórias dentro de um campo vetorial limitado, elas podem ter dois comportamentos, ou se tornam periódicas com o tempo ou então se aproximam de uma situação de equilíbrio.

Conceitos Importantes

  • Sistemas Dinâmicos: consiste de um conjunto de possíveis estados (informações que caracterizam completamente o sistema num dado instante de tempo) e de uma regra determinística;
  • Atractor: conjunto de comportamentos característicos para o qual evoluiu um sistema dinâmico independentemente do ponto de partida;
  • Atractor fixo, periódico ou estranho (o sistema flutua para sempre entre vários estados de um modo que não é aleatório, nem é fixo, nem oscilatório, mas sim uma flutuação contínua caótica);
  • Atractores estranhos são resultado de sistemas dinâmicos não lineares

(Roth, 2003; Theiler, 1990)

Sistemas Caóticos:

  • São sistemas dinâmicos;
  • As regras são não-lineares, sejam elas equações diferencias;
  • Grande parte das trajetórias desses sistemas são instáveis (na região analisada), ou seja, uma pequena incerteza nas condições iniciais cresce exponencialmente com o tempo;
  • Em razão disso, esses sistemas apresentam dificuldades para a previsibilidade de seu comportamento a longo prazo.

(Moreira, 1993)

A Teoria do Caos

Discentes: Beatriz Bonfim;

Bruna Passaretti;

Douglas Tanajura;

Larissa Zezzo;

Maíra Nascimento;

Rodrigo Vázquez;

Tatiana Satiko;

Yasmin Lima.

Caos na prática

O que é Caos?

Compreende-se que a formação de uma nuvem, por exemplo, ocorre devido a diferentes fatores, assim como temperatura, evaporação e o vento, no entanto, o resultado esperado pode ser instável (desde que o sistema seja não linear). Nesse contexto, entende-se que mesmo que o número de fatores influenciando um sistema seja pequeno ou grande, o resultado final pode ser aleatório.

  • Sistemas Complexo e Dinâmicos;
  • Apresentam uma certa instabilidade;
  • Conceito chave: impossibilidade de se fazer previsões a longo prazo;
  • Sistemas sensíveis às suas condições inciais, tanto externas quanto externas

O que é Caos?

Caos na prática

  • Objetivo de Estudo:
  • Comportamento de sistemas em feedbacks não-lineares;
  • Exemplos: células, fenômenos metereológicos ou até mesmo uma empresa.

"A maioria dos fenômenos que são observados na natureza e no comportamento humano possuem tanto características de ordem e estabilidade, assim como de desordem e irregularidade"

(Paiva, 2001)

A Teoria do Caos ainda oferece alguns modelos matemáticos para descrever os processos randômicos (imprevisíveis) dos processos caóticos (com um sistema não linear subjacente), descrição esta que as técnicas matemáticas lineares não conseguem fazer.

(Paiva, 2001)

Modelo Votka-Volterra

Modelos de Crescimento:

  • Exponencial;
  • Logístico.

No campo das Ciências Ambientais, é possível encontrar diferentes

exemplos em que pode-se aplicar o modelo de Lotka-Volterra, principalmente quando nos referimos a ecologia de populações. Assim como a interação entre raposas e coelhos, joaninhas e pulgões, tubarões e peixes, entre outros.

Modelo desenvolvido em 1925, são equações diferenciais, frequentemente utilizada para descrever sistemas biológicos (ex.: presa-predador).

  • Vito Volterra (1860-1940), matemático italiano, chegou à sua equação instigado pelo seu futuro genro, Umberto d’Ancona, que buscava explicar porque observavam-se oscilações na quantidade de peixes predadores capturados em certos portos do Mar Adriático.

Problemas do Modelo:

  • Crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial, não logístico;
  • Não contém mecanismos de saturação;
  • Modelo simplificado da dinâmica de predadores-presa, capturando a feição geral, que é a existência de oscilações, ou periodicidade.

Os dados mostravam que a frequência de predadores, como tubarões, aumentara durante os anos de guerra e posteriormente diminuira com o aumento da pesca. A abundância relativa das presas, por outro lado, seguira um padrão inverso. 

  • A predação é uma das interações entre espécies das mais universais.
  • Ecologicamente, é a interação mais direta.

  • As equações de Lotka-Volterra nos dizem:

  • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de presas, com disponibilidade de presas, o número de predadores vai aumentando;
  • As presas mais visadas tem menor taxa de crescimento.Depois de um tempo, começam a diminuir;
  • Após um certo tempo, os predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também.

Se definirmos N(t) como o número (ou densidade) de presas e P(t) e número (ou densidade) de predadores, o sistema proposto por Vito Volterra apresenta a seguinte formulação:

Ou seja: cV(t) – bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H

A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra.

Para cada valor de H podemos traçar no plano P e V o lugar geométrico dos pontos que obedecem a equação acima.

Dividindo a segunda equação pela primeira:

dP /dV = P (cV - d)/V (a - bP)

O resultado será o seguinte:

dp (a - bP)/P = dV (Cv – d)/ V

Terminando em:

a ln P – bP = cV – d ln V + H

Onde H é uma constante

onde r, c, b e m são constantes positivas.

Seguindo o modelo anterior da equação de Lotka-Volterra, temos outro exemplo da equação que descreve a mesma situação. É importante lembrar que a,b, c e d continuam sendo constantes positivas.

Conjectura Kaplan - Yorke

(Treiller, 1990)

Embora os detalhes da trajetória que um sistema pode assumir tem uma dependência sensível no condições iniciais, a estrutura geométrica atrator estranho pode ser definido . A dimensão do atrator corresponde a um fractal dimensão para o número de graus de liberdade ativos no sistema .

(Theiler, 1990)

Fractais são formas geométricas com padrões irregulares que se repetem em diferentes escalas. As formas consistem em fragmentos de tamanhos variados e orientação, mas de forma semelhante.

  • Pesquisadores desenvolveram métodos numéricos detectar e quantificar o caos;
  • Algoritmos primeiro reconstruem a fase de espaço (isto é, o espaço definido pela variáveis ​​do sistema), diretamente das observações e, em seguida, estimam a dimensão fractal do trajetória observado;
  • Observando-se um único componente em potencial de um sistema físico complexo, além de poder realmente contar os graus de liberdade ativos no sistema.
  • Tendo a observação de irregular de um movimento, é possível responder à pergunta, é que o caos ou é ruído?

Os expoentes de Lyapunov indicam a estabilidade do sistema dinâmico, em diferentes perturbações;

A conjectura de Kaplan - Yorke afirma que um sistema completo do Espectro de Lyapunov pode ser utilizada para fornecer uma estimativa direta da dimensão fractal do sistema.

(Nichols, 2003)

Proposta em 1979, a conjectura de Kaplan-Yorke sugere uma relação simples entre a dimensão fractal de um sistema e o expoente de Lyapunov.

Esta relação tem consequências importantes no amplo campo da dinâmica não-linear em que os Expoentes de Lyapunov são frequentemente utilizados descritores de dinâmica do sistema.

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