Mapeo Conforme y Ecuacion de Poisson

INTRODUCCION

LA INTEGRAL DE POISSON REPRESENTA UNA FUNCIÓN ARMÓNICA ∅ EN EL DISCO |z|≤R EN TÉRMINOS DE SUS VALORES ∅(R,∝)SOBRE LA FRONTERA DEL CIRCULO.

ESTA FORMULA SIGUE SIENDO VALIDA SI LA FUNCION FRONTERA ∅(R,∝)ES MERAMENTE CONTINUA POR SECCIONES, Y ASI SE OBTIENE UNA FUNCION ARMONICA EN EL DISCO ABIERTO Y SOBRE EL CIRCULO |z|=R ES IGUAL A LA FUNCION FRONTERA DADA, EXCEPTO EN LOS PUNTOS EN DONDE ES DISCONTINUA.

SI UNA FUNCIÓN COMPLEJA w=f(z) ESTÁ DEFINIDA EN UN DOMINIO D DEL PLANO Z, ENTONCES A CADA PUNTO EN D LE CORRESPONDE UN PUNTO EN EL PLANO W.

DE ESTA MANERA SE TIENE UN MAPEO DE D SOBRE EL RANGO DE VALORES DE f(z) EN EL PLANO W.

ESTE ENFOQUE GEOMÉTRICO DEL ANÁLISIS AYUDA A VISUALIZAR LA NATURALEZA DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA, CONSIDERANDO EL MODO EN QUE LA FUNCIÓN TRANSFORMA CIERTAS CURVAS Y REGIONES.

EN MUCHOS PROBLEMAS PRÁCTICOS NO SE CONOCE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA EXACTA EN TODOS LOS PUNTOS Y ES FACTIBLE TRABAJAR CON LA ECUACIÓN DE POISSON YA QUE, CON RELACIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS COMPLEJOS, ES MÁS SENCILLO MANIPULARLA QUE LA PARTE REAL Y LA COMPLEJA POR SEPARADO.

RESUMEN

FORMULA DE LA INTEGRAL DE POISSON

PARA OBTENER LA FÓRMULA DE POISSON SE PARTE DE LA FÓRMULA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY:

LOS MAPEOS CONFORMES SON INVALUABLES PARA EL INGENIERO Y EL FÍSICO COMO UNA AYUDA PARA RESOLVER PROBLEMAS EN LA TEORÍA POTENCIAL.

SON UN MÉTODO ESTÁNDAR PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALORES DE FRONTERA EN TEORÍA DE POTENCIAL BIDIMENSIONAL Y APLICACIONES RICAS EN RENDIMIENTO EN ELECTROSTÁTICA, FLUJO DE CALOR Y FLUJO DE FLUIDO.

EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA, LA ECUACIÓN DE POISSON ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL CON AMPLIA UTILIDAD EN INGENIERÍA ELECTROSTÁTICA, MECÁNICA Y FÍSICA TEÓRICA. EL INTERÉS DE PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERA QUE ES

ESTUDIADO QUE PERMITE MODELAR PROBLEMAS DE FÍSICA EN ESTADO ESTACIONARIO.

EN CONSECUENCIA AL ESCRIBIR F(z)=∅(r,θ)+iφ(r,θ)

SE OBTIENE:

MAPEO CONFORME Y ECUACION DE POISSON

ECUACION DE POISSON

LA NATURALEZA IRROTACIONAL DE E INDICADA NOS PERMITE DEFINIR UN POTENCIAL ELÉCTRICO ESCALAR ϕ.

EN UN MEDIO LINEAL E ISÓTROPO D=eE , DONDE e PUEDE SER UNA FUNCIÓN DE UNA POSICIÓN Y TENEMOS LA ECUACIÓN

∇

Y AL SUSTITUIR EN LA ECUACIÓN ANTERIOR SE TIENE

QUE ES LA ECUACIÓN DE POISON Y ESTABLECE LA RELACIÓN ENTRE EL POTENCIAL ELÉCTRICO (Φ) Y LA DENSIDAD DE CARGA VOLUMÉTRICA (PV) PRESENTE EN UN MEDIO SIMPLE (DE PERMISIVIDAD CONSTANTE, €=CTE).

MAPEO CONFORME

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES FUNDAMENTALES QUE RIGEN LA ELECTROSTÁTICA EN CUALQUIER MEDIO SON LAS SIGUIENTES:

Integrantes:

Josue Aguilar Martınez,

Bernardo Vasquez Cordero,

Soledad Gutierrez

UNA FUNCIÓN CON VALORES COMPLEJOS

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

DE UNA VARIABLE COMPLEJA Z PROPORCIONA UN MAPEO DE SU DOMINIO DE DEFINICIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Z SOBRE SU RANGO DE VALORES EN EL PLANO COMPLEJO W.

SI f(z) ES ANALÍTICA, ENTONCES SU PROPIEDAD MÁS IMPORTANTE DE MAPEO ES SU CONFORMIDAD.

EL MAPEO SE DENOMINA CONFORME SI PERSEVERA LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE LOS ÁNGULOS ENTRE CURVAS ORIENTADAS.

EL MAPEO w=f(z) PARA UNA FUNCIÓN ANALÍTICA F ES CONFORME, EXCEPTO EN EL CASO DE PUNTOS CRÍTICOS, ES DECIR, PUNTOS DONDE LA DERIVADA F ES CERO.

TEOREMA1. w=z^2