¿Nos tomamos un coffee?

Resumen

¿Nos tomamos un coffee?

Las leyes científicas que, por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. Para llevar esto a cabo acudimos a un modelo matemático que es una simplificación idealizada que representan a las ecuaciones diferenciales, siendo cada uno de ellos una aproximación a la realidad del problema físico. Su uso sólo depende de los criterios impuestos a cada situación para su resolución. Si los resultados obtenidos coinciden con la evidencia del experimento por medio de la teoría podremos determinar su utilidad.

Aunque no lo detectamos, en la cotidianidad de nuestra vida, nos encontramos constantemente con objetos o fenómenos naturales cuyo funcionamiento se debe al uso de ecuaciones diferenciales. El siguiente proyecto, intenta desarrollar una de las tantas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, en el cual, se espera demostrar el tiempo de enfriamiento de una taza de café en un ambiente natural.

Introducción

Los materiales empleados en la modelización del trabajo son:

- Taza de vidrio transparente.

- Termómetro de cocina.

- Vaso de vidrio.

- Café marca A (instantáneo) y marca B (molido). Cantidad: quince gramos (15 gr).

- Agua caliente a noventa y tres grados Celsius (93°C). Cantidad: doscientos cincuenta mililitros (250 ml).

- Teléfono celular (cámara y cronómetro).

- Cinta métrica. Escala: centimetrada (0,1 cm).

- Graficador, GeoGebra.

Objetivos específicos

Objetivos actitudinales

Para la realización del trabajo se consideraron distintas variables. Manteniéndose fijas: agua potable; su cantidad; consistencia del café (sin azúcar, ni edulcorante); agua hervida a noventa y tres grados Celsius (93°C). Y se dejaron libres la temperatura ambiente; la presión atmosférica; la marca de café y el momento del día.

- Aplicar la ley de enfriamiento de Newton en el experimento.

- Modelizar la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el enfriamiento del café.

- Comprobar que los datos obtenidos a través de esta ecuación diferencial son iguales o aproximados a las temperaturas reales registradas.

- Integrar a través del experimento los demás contenidos abordados en el taller.

- Ampliar el concepto de ecuaciones diferenciales mediante su uso práctico.

- Valorar las formulaciones e hipótesis propias y ajenas, aceptando el trabajo colaborativo.

- Analizar los resultados que se obtienen del enfriamiento con la finalidad de poner en práctica lo aprendido.

Este informe fue realizado con la finalidad de demostrar cómo integrar todos los contenidos abordados en el espacio curricular de Modelización Matemática en las Ciencias en los dos cuatrimestres del corriente año. Mediante el análisis e integración de todos los conocimientos construidos en esta etapa de la formación docente, se plantea una resolución analítica y experimental de una situación de la vida cotidiana, utilizando las herramientas aprendidas.

Según la OMS, en un informe advierte que ingerir bebidas muy calientes, es “probable” que cause cáncer de esófago. Por lo tanto, se recomienda una temperatura de sesenta y cinco grados Celsius (65°C), aunque la de consumo promedio es de cincuenta y ocho grados Celsius (58°C).

En esta oportunidad, mediante un experimento, vamos a calcular el tiempo estimado que tarda una taza de café recién servida, en descender su temperatura hasta llegar a la del consumo promedio. Por lo general, el café se sirve a una temperatura de ochenta grados Celsius (80°C), siendo la misma nuestro punto de partida. Utilizando la ley de enfriamiento de Newton, por medio de ecuaciones diferenciales y el experimento, vamos a medir el tiempo necesario que debemos esperar para que la temperatura se sitúe en valores cercanos a los cincuenta y ocho grados Celsius (58°C).

Sir Isaac Newton fue una de las muchas personas que se interesó por estos fenómenos e inclusive enunció una ley que es la que rige este experimento. La ley de enfriamiento de Newton nos dice que: "La tasa de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y sus alrededores", lo cual expresado en forma simbólica sería: , donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo representa la rapidez del enfriamiento, T la temperatura instantánea del cuerpo, k una constante que define el ritmo de enfriamiento y la temperatura ambiente.

Lo anterior expresado en base al planteamiento de una ecuación diferencial, la cual se define como una ecuación que establece una relación entre la variable independiente “x”, una función buscada “y=f(x)” y sus derivadas y’; y’’; y’’’’; …; , permitiendo la misma resolver las incógnitas que se presenten en este tipo de situaciones. Gracias a esto sabemos que la temperatura de un cuerpo decae exponencialmente conforme el tiempo avanza. De esta manera, pudimos determinar que la ecuación diferencial que usaremos en el experimento es la siguiente: .

Con la intención de desarrollar el modelo de una ecuación diferencial aplicable a un caso de la vida cotidiana, es que cada integrante del equipo de trabajo preparó el café esperando que el agua hierva a aproximadamente noventa y tres grados Celsius (93° C), vertiendo la misma en una taza, se agrega el café y así iniciar la modelización cuando la temperatura haya alcanzado los ochenta grados Celsius (80° C). Seguidamente se realizó el registro de la temperatura obtenida a los tres (3), cinco (5), diez (10), doce (12) y quince (15) minutos. (Ver anexo N°1, tabla N° 1), obteniéndose valores similares entre cada estudiante. Luego con los datos obtenidos, se realizaron los cálculos correspondientes empleando la ecuación diferencial planteada, pudiéndose observar que los resultados varían muy poco, entre uno (1) y dos (2) grados Celsius, debido a las diferentes variables consideradas. (Ver anexo N° 2).

Agradecimientos

Conclusión

A la profesora Blanca Basualdo por su preocupación, colaboración y guía constante, también por motivarnos a realizar el trabajo, sus aportes y tiempo para corregir el mismo.

Cuando existe una diferencia de temperatura entre un cuerpo y el medio que lo rodea, la evolución espontánea que se manifiesta, se produce en el sentido de igualar las temperaturas hasta alcanzar el equilibrio térmico, sin embargo, comprobaremos experimentalmente que existen leyes empíricas de singular simplicidad en el estudio del enfriamiento de los cuerpos.

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucran cambios descriptos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian.

Además, se han integrado otros contenidos desarrollados durante el taller los cuales son: funciones de multivariables, de variables complejas y probabilidad.

Considerando que las primeras mencionadas son un tipo de integral definida aplicada cuando existen más de una variable real, es que buscaremos determinar el volumen de la taza empleada para servirlo, abordando de esta forma el respectivo contenido. En cuanto a las funciones de variables complejas, es necesario analizar el calor que emana la taza de café con la temperatura del medio donde se encuentra. Por esta misma razón, se desarrollará en dicho informe de laboratorio. Finalmente, desarrollaremos el contenido de probabilidad, como modelo no determinístico. El cual es un cálculo matemático, que considera las posibilidades que existen, de que una cosa se cumpla o suceda al azar.

Mediante este experimento se logró comprender la utilidad y relevancia de todos los contenidos trabajados durante el ciclo. Relacionando y aplicando de manera integral los conocimientos aprendidos en una situación de ocurrencia real y cotidiana, y algunos supuestos hipotéticos en el final del mismo.

La modelización nos permite en este caso el análisis y control generalizado de cómo desciende la temperatura del café respecto a una temperatura ambiente. De esta forma, pudimos llevar a cabo el análisis de las ecuaciones diferenciales, planteando una donde se pueda calcular los datos y se aproximen a los realizados en el experimento.

Además, pudimos integrar los contenidos de funciones multivariables, de variables complejas y probabilidad. Empleamos las integrales dobles para mostrar cómo calcular el volumen de la taza que usamos para llevar a cabo el experimento. Considerando variables complejas, planteamos cómo se puede determinar el calor que genera la taza respecto al ambiente, así se estableció que existirá una región cerrada, llamada simplemente conexa. Y, por último, desde la probabilidad nos planteamos supuestos e interrogantes respecto a las marcas de café utilizadas.

Para finalizar, llegamos a la conclusión que conforme va pasando el tiempo el café cada vez se va enfriando a una tasa más lenta, es decir, una razón de cambio menor y que la temperatura del mismo cada vez se va acercando más a la temperatura del ambiente. Si nosotros dejamos el café servido un tiempo lo suficientemente largo, en algún momento llegará a igualar la temperatura del ambiente que haya. Entonces, conforme mayor sea la diferencia de la temperatura del café con la del ambiente, se va a enfriar más rápido que cuando dicha diferencia sea menor.

Modelización Matemática en la Ciencias

Docentes: Basualdo, Petrona Noemí

Autores: Alzamendes, María Rosa; Caccialupi, Camila María; Falco, Romina Gabriela; Novik, Maksym

Instituto Superior de Formación Docente "Mariano Moreno"

Experimento de María

Experimento de Camila

Experimento de Romina

Experimento de Maksym

Para finalizar nuestro trabajo, consideramos supuestos para poder abordar el contenido de probabilidad. Por lo tanto, supusimos que:

En un supermercado se puede optar por comprar dos marcas de café: marca A y marca B. En un determinado día, el noventa por ciento (90%) de los clientes ha comprado café “marca A” y el resto café “marca B”. El treinta por ciento (30%) de los que compraron “marca A” son hombres y de los compraron café “marca B” son el cuarenta por ciento (40%). Eligiendo un cliente al zar cuál es la probabilidad de que sea una mujer.

En un supermercado se venden tres marcas de café A, B y C. El cincuenta por ciento (50%) de la población compra el café A, el cuarenta por ciento (40%) compra el café B y el treinta y cinco por ciento (35%) el C. Casualmente el quince por ciento (15%) compra tanto la marca A como la B, el diez por ciento (10%) compra las marcas B y C, el ocho por ciento (8%) compran las marcas A y C, y finalmente solo el cinco por ciento (5%) de la población son los que compran las tres (3) marcas.

Para comenzar, buscamos determinar una región cerrada, para lograrlo se debe modificar la función que se empleó para calcular el volumen de la taza , para ello la misma fue transformada utilizando variables imaginarias en la variable “y”. Quedando determinada de la siguiente forma:

De ésta manera los puntos externos a la función representan la temperatura del medio, lo que se denomina región conexa. Siendo los mismos libres, ya que no pertenecen al dominio de la función.

Teniendo en cuenta lo desarrollado hasta este instante, también nos propusimos encontrar el modo de integrarlo con el contenido de funciones de variables complejas, trabajado en el presente espacio curricular. Así es que pensamos en considerar el calor que emana la taza de café con la temperatura del medio donde se encuentra.

En dicha etapa de nuestro experimento nos planteamos ¿Será posible relacionar el mismo con el contenido de integrales múltiples?, el cuál fue abordado en el presente taller. ¿De qué manera o para qué?

Asi fue qué nos propusimos calcular el volumen de la taza utilizada para servirlo. ¿Cómo se determina el mismo?

Para ello, en primer lugar, necesitamos una función que represente el objeto utilizado, la cual quedó determinada por:

siendo los límites de dicha función 0≤z≤10. Mientras que el diámetro superior de la taza es [8 ± 0,1] cm, el inferior [5 ± 0,1] cm y la altura de la misma [10 ± 0,1] cm. Las respectivas mediciones, se efectuaron con la cinta métrica.

Pero como es sabido, al realizar mediciones siempre se cometen errores, es decir no son exactas. Entonces para conocer cuál es la inexactitud cometida, existen los diferenciales, éstos son los correspondientes a las dos variables intervinientes “x” (límite superior) e “y” (límite inferior).

Una vez planteado lo descripto anteriormente se puede graficar la función.

A partir de la observación, interpretación y análisis de las gráficas, se podrá hallar el volumen del objeto considerado. Para ello, será necesario trabajar con integrales dobles. Siendo el procedimiento de cálculo el siguiente: se integra la función que ha sido definida anteriormente por sus respectivos diferenciales, se buscan los límites para “x” e “y”, se iguala a cero la misma y se emplea la regla mnemotécnica.

Como se puede apreciar en los gráficos, Z se halla en los cuatro octantes superiores, estando limitada por dos planos, . Por lo que se obtendrá un volumen en cada una de las intersecciones de ella con los mismos. Para luego, al restarlos hallar el valor correspondiente al de la taza de café.

Ese resultado obtenido representa la función en el primer octante, será necesario multiplicarlo por cuatro (4) para encontrar el valor completo de Z.

Por último, se debe considerar el error que se ha cometido en la medición inicial, ese error deberá ser calculado, y como se mencionó anteriormente sumado al resultado. Para ese cálculo será necesario incorporar el contenido respectivo, el cual fue abordado por los mismos estudiantes en el espacio curricular de Problemáticas del Análisis Matemático II, en el ciclo anterior.