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MÉTODO DE BIRGE-VIETA
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MÉTODO DE BIRGE-VIETA
BIBLIOGRAFÍA
[1] D. D.-L. Flores, «Universidad Atónoma de Baja California,» 10 Enero 2016. [En línea]. Available: http://ing.ens.uabc.mx/docencia/apuntes/bioingenieria/ApuntesMN2016-2.pdf. [Último acceso: 03 Noviembre 2018], pp: 41-46.
[2] R. Burden, «Pontificia Universidad Católica del Ecuador,» 18 Septiembre 2011. [En línea]. Available: https://www.puce.edu.ec/sitios/documentos_DGA/9_20_2002_2011-02_13410_1700071374_T_1.pdf. [Último acceso: 03 Noviembre 2018], pp: 15-20.
Lo anterior puede realizarse mediante una tabla de la siguiente manera:
El polinomio P(x),
P(x) = a1x^n + a2x^(n - 1) + . . . + an^x + a(n+1)
Puede ser representado por el vector de sus coeficientes,
a = [a1 a2 . . . an a(n+1)]
De la misma manera Q(x) puede ser representado por el vector b(1 : n):
b = [b1 b2 . . . bn]
Dado que:
P(x) = (x - x0) Q(x) + b(n+1),
P'(x) = Q(x) + (x − x0) Q'(x).
Por lo tanto:
P'(x0) = Q(x0),
Es decir, que P(x0) puede evaluarse obteniendo el residuo de la división de Q(x) por (x - x0) y evaluando Q(x0).
DIVISIÓN SINTÉTICA
EJEMPLO
Sea P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6.
Valor inicial x = -(-5)/6 = 0.8333.
Suponer dos polinomios P(x) y Q(x) de la forma:
P(x) = a1x^n + a2x^(n - 1) + . . . + anx + a(n+1)
Q(x) = b1x^n + b2x^(n - 1) + . . . + bnx + b(n+1)
Donde a1 <> 0. Si la relación entre P(x) y Q(x) esta dada por:
P(x) = (x - x0) Q(x) + b(n+1),
Se tiene que b1 = a1, b(n+1) = P(x0), y
bk = ak + bk−1x0,
Para k = 2, 3, . . . , n + 1.
¿CÓMO SE REALIZA?
Se tiene un polinomio de la forma:
P(x) = a1x^n + a2x^(n - 1) + . . . + a(n - 1)x + an
Puede ser factorizado en la forma:
P(x) = (x - p1)(x - p2). . .(x . pn)
Donde pi es un cero (o raíz) del polinomio porque P(pi) = 0.
El método Birge-Vieta aplica Newton-Raphson para encontrar una raíz del polinomio P(x).
Dado un punto xk, evalúa P(xk) y P'(xk) mediante división sintética. Cuando encuentra una raíz pi, elimina el factor (x - pi) mediante división sintética y continúa trabajando sobre el polinomio resultante. El proceso se repite hasta encontrar todas las raíces del polinomio.