Analyse Complexe Discrète

ConformitéDiscrète

Les fonctions harmoniques minimisent l'énergie de Dirichlet

Décomposition de Hodge

Blocs conformes discrets

Holomorphie discrète

Constantes d'interaction

Criticité statistique =

intégrabilité de l'analyse complexe discrète

Comm. Math. Phys. 218(1):177-216 (2001)

Quad-intégrabilité 3D

Criticité => Dérivation et intégration des fonctions holomorphes

La fonction de Green est une solution isomonodromique

Schroeder, Desbrun et al. (CalTech)

cobord

produit extérieur

étoile de Hodge

Laplacien

singularités Quasi-conformité

Intégrabilité

Similitude locale

Homographie locale

parallèlogrammes et losanges

Linéaire

Quadratique

Préservation du rapport des diagonales

Préservation du birapport

Equation linéaire

sur chaque face

Equation quadratique

sur chaque face

Théorème de Morera

Lelong-Ferrand, Duffin, Novikov

Thurston

Motifs de cercles

Exponentielle

BSMF 132(2):305-326 (2004)

construction de Krichever

Doliwa, Grinevich,

Nieszporski, Santini

Frank Nijhoff

N-solitons

Polynomes

Algèbres de Lie simplement lacées

A.B., Ch.M., Yu. S. Crelle 583:117-161 (2005)

2002-2003

Théorie

Conforme Finie

Alexander Bobenko, TU-Berlin

A. Bobenko, Yu. Suris, TU-Berlin/TU-Munich

Algèbre de fusion discrète

Algèbre de fusion

Entiers q-déformés

Solutions isomonodromiques

Transformations de Darboux

Vecteur propre de Perron-Frobénius

isomonodromique

si poles et ordres

prescrits

Représentation à courbure nulle

Itzykson, Zuber, Petkova, Coquereaux, Jones, Ocnéanu

Formule de Verlinde

Belavin, Polyakov, A&Al Zamolodchikov, A&V Fateev, Vl&Vi Dotsenko, Neveu, Itzykson, Zuber, di Francesco, E&H Verlinde, Roche, Buffenoir

Graphes d'Ocnéanu

Système statistique de Pasquier (ADE)

Repère mobile

Poids de Boltzmann fusionnés

2000-2001

Paul Pearce, University of Melbourne, Australie

Dépend

d'un chemin

et modèle d'Ising

Fermion

Configuration: les spins

Poids de Boltzmann ferromagnétiques

Structure spin

discrète

Espérance d'une observable

La corrélation

La criticité à la limite

thermodynamique

est un spineur de Dirac à la criticité

Intégrabilité : parallélogramme

pour la structure conforme discrète

Smirnov & Chelkak, Bazhanov, Cimanosi & Reshetikhin, Bohle & Pedit & Pinkall, de Tilière & Boutillier, Kenyon

Table de fusion du modèle d'Ising, observable dans le modèle discret

La criticité statistique est visible dans le modèle fini: c'est la compatibilité avec l'holomorphie discrète

Masse = écart à la criticité

déformations elliptiques des fonctions circulaires

Baxter, Perk, McCoy

Z-invariant Ising model

1994-1998

Généralisation par Cardy et Rajabpour aux Parafermions (arXiv:0708.3772)

Daniel Bennequin, Univ. Louis Pasteur, Strasboug

Analyse

Complexe

Discrète

Polynome de Taylor (ordre 8)

Surface de Lawson

Tore de Wente

McCoy & Costa Santos

http://images.math.cnrs.fr/Applications-conformes.html

Conformité

Holomorphie et conformité

Similitude locale

Préservation du rapport des diagonales

Surfaces de

Riemann Discrètes

Théorème de Morera

Lelong-Ferrand, Duffin, Novikov, Kiselman

Discrete Riemann Surfaces, in Handbook of Teichmueller theory, IRMA 2007

A. Bobenko, Ch.M., M. Schmies: Period Matrices of Polyhedral Surfaces,

in Riemann Surfaces a computational approach

Equation linéaire

sur chaque face

sur Z, on retrouve les binomiaux

Diffusion et convolution

équiprobabilité des faces adjacentes

équiprobabilité des sommets

Droite discrète épaissie

Dispersion des écarts type

en fonction des poids

des pixels fantomes

Pentes

Ecart type

Théorème des résidus

Fonction de Green

Pentes

Cas des losanges

Kenyon 2002

Noyau reproduisant de Cauchy

Ecart type

Laplacien des cotangentes

Pinkall & Polthier 1993

F. Rieux, Ch. Fiorio, Ch.M. CompImage 2010

Géométrie

Discrète

Coefficient de dilatation

Bobenko, Pinkall, Polthier (Berlin), Gotsman, Ben-Chen (Technion), Gu, Yau (Harvard), Alliez, Cohen-Steiner (INRIA Sophia)

Théorème de Morera

Discrete Complex Structures on Surfel Surfaces

DGCI2008 LNCS 4992

équipe ARITH LIRMM

Analyse

d'image