Paradoksy i iluzje matematyczne

Wstęga Möbiusa

Przygotujmy długi pasek papieru i sklejmy

jego krótsze brzegi, obracając uprzednio jeden

z końców o 180 stopni. To wystarczy. Wstęga Möbiusa gotowa.

Powierzchnia, która posiada tylko jeden brzeg i tylko

jedną stronę. Łatwo to sprawdzić. Weźmy do ręki najzwyklejszy

pisak i obierzmy punkt w połowie szerokości wstęgi.

Rysując prostą linię, wkrótce odkryjemy, że obrysowaliśmy

całą długość wstęgi bez odwracania jej na drugą

stronę i znaleźliśmy się dokładnie

w tym samym miejscu, z którego zaczynaliśmy.

Magicznie przenieśliśmy się na drugą stronę,

bez przekraczania żadnej granicy.

Paradoks szachownicy

autor: Anna Szarafin

Wpatrując się przez chwilę w czarny krzyżyk zauważymy, że różowe plamy znikną. Dzieje się tak dzięki widzeniu peryferyjnemu. Różowe plamki nie stymulują naszych neuronów na tyle, by zatrzymać naszą „uwagę”.

Mędrzec Sissa Nassir, który wynalazł szachy tak zachwycił grą swojego władcę, że ten, aby wynagrodzić swojego poddanego, obiecał mu nagrodę. Mędrzec sam miał wybrać, czego od króla oczekuje. Ten, nie namyślając się długo, poprosił o liczbę ziaren pszenicy, którą wyznaczy szachownica w następujący sposób:

Połóż panie na pierwszym polu szachownicy jedno ziarno, na drugim dwa, na kolejnych cztery, osiem, szesnaście i tak do ostatniego pola za każdym razem podwajając ich liczbę.

autor: Ola Kosznik

na zdjęciu Agata Stolc

fot. K. Fijał

Życzenie mędrcy

rzeczywiście jest

niemożliwe do

spełnienia.

Myślicie, że to różne odcienie szarości?

Władca był zdumiony skromnością prośby swojego poddanego, jednak szybko okazało się, że w całych Indiach nie ma takiej ilości zboża, by spełnić życzenie mędrcy.

autor: Anna Szarafin

Złudzenie Ponza

To jesteście w błędzie!

- dwie linie na drodze albo torach kolejowych.

W związku z tym, iż nasz mózg interpretuje drugą linię jako położoną dalej, widzimy ją jako większą,

podczas gdy obydwa żółte odcinki

są równej długości.

Podrobiona dziesiątka

Pan Olek przyszedł do sklepu i kupił czekoladki za 6 zł, płacąc banknotem 10 zł. Sprzedawca nie miał reszty, więc poszedł do sąsiada, który rozmienił mu banknot 10 zł. Sprzedawca wydał 4 zł reszty Panu Olkowi i zamknął sklep. Następnego dnia sąsiad odniósł banknot, ponieważ okazał się podrobiony. Sprzedawca, który dał już 4 zł prawdziwe panu Olkowi musiał wypłacić sąsiadowi 10 zł prawdziwe.

Ile stracił?

Przygotowali:

Aleksandra Kosznik

Agata Stolc

Anna Szarafin

Roksana Szwartz

Piotr Warczak

Opiekun:

p. Iwona Gnacińska

Iluzja

Paradoks zagubionej złotówki

Trzy osoby zapłaciły za pizze po 10 zł, która faktycznie kosztowała 25 zł. Kelner zwrócił każdemu po 1zł, a sobie zachował 2 zł, a zatem

3 x 9 + 2 = 29zł.

fot. Ola Kosznik

1. Złudzenie; wrażenie, że się widzi coś, czego w istocie nie ma.

2. Niewłaściwa interpretacja widzianego zjawiska.

3. Wiara lub przekonanie niemające pokrycia w rzeczywistości.

Prawidłowe równanie:

3 x 10 = 30

30 - 25 = 5

5 - ( 3 x 1 ) – 2 = 0

3 x 9 - 2 = 25

Popatrz na górną część rysunku powyżej.

Są na nim cztery zadowolone strusie.

Jeśli jednak spojrzysz na dolną część obrazka, zobaczysz intruza!

Do stada zakradł się jeszcze jeden struś.

Dolna i górna część rysunku, gdy patrzy się na nie osobno, nie budzą zastrzeżeń.

Dlatego w pierwszej chwili łatwo przeoczyć

fakt, że do siebie nie pasują.

Sofizmaty

Rozumowanie pozornie poprawne, ale tak naprawdę zawierające utajone błędy logiczne. Świadome dowodzenie

nieprawdy.

Problem z obrazem

Pan Krzysiu wchodzi do sklepu i kupuje

obraz za 150 zł.

Na drugi dzień przychodzi powtórnie z zamiarem zamiany obrazu. Wybiera inny obraz za 300 zł i nie płacąc wychodzi. Właściciel sklepu zatrzymuje go, lecz pan Krzysiu oświadcza:

Jesteśmy kwita.

Wczoraj zostawiłem Panu 150 zł, a

dziś obraz wartości 150 zł. Razem 300 zł.

Czy istnieje tyle samo liczb naturalnych co parzystych?

Ile wynosi 0,(9) ?

autor: Anna Szarafin

1/3 = 0,(3) I*3

3/3 = 0,(9)

3/3 = 1

1 = 0,(9)

Każdej liczbie naturalnej można przyporządkować liczbę parzystą.

Spójrz na górną część obrazka, a zobaczysz cztery urocze flamingi z uniesionymi głowami. Kiedy jednak spojrzysz na dolną część, zobaczysz aż siedem ptaków.

Paradoks

Paradoks to twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń, a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tzw. zdrowym rozsądkiem.

Skoro jest nieskończona liczba liczb naturalnych i nieskończona liczba liczb parzystych, z tego wynika wniosek, że odpowiedź na pytanie jest twierdząca, pomimo że wielu myśli, iż naturalnych jest dwa razy więcej niż parzystych.

Paradoksy i iluzje matematyczne