Circulo de mohr

Demostración teórica (cont.)

Por otra parte las direcciones principales se calculan de acuerdo a la expresión siguiente y se comprueba que son las mismas que para los ejes que pasan por el CDG

Resolvemos el ejercicio aplicando trigonometría

Dibujamos el circulo de Mohr con los valores C y R calculados

Como conclusión adicional el ángulo máximo se obtiene derivando e igualando a cero:

Nota : tal y como se deduce de estas ecuaciones, los ángulos girados en el espacio de Mohr son el doble que los "reales"

Conclusión

Demostración teórica (cont.)

Elevando al cuadrado (1) y (2) y sumando obtenemos:

Para calcular la inercia con respecto a unos ejes con el mismo origen pero girados un cierto ángulo, se utiliza el círculo de Mohr y se obtienen las nuevas inercias de una forma sencilla.

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Realizamos el proceso análogo con el producto de inercia

Que resulta ser la ecuación de una circunferencia con origen (0,C) y radio R :

(2)

Cálculo del momento de inercia de la sección con respecto los ejes que pasan por CDG

Y así se calcula la inercia total de la sección

(simetría)

Lo primero es calcular el cdg

Con las ecuaciones anteriores y empleando el teorema de Steiner ya que primero calculamos la inercia de los rectángulos con respecto los ejes que pasan por su CDG y luego sobre los ejes del CDG de la sección aplicamos la siguiente expresión:

Demostración teórica del método de cálculo de los momentos de inercia de una sección con respecto a unos ejes girados

Símplemente consiste en hallar la inercia en funcion de x1 e y1

Para ello tenemos que trabajar con los nuevos ejes:

Sabemos que la inercia respecto a x es

Y con respecto a x1 es

Demostración teórica del método de cálculo de los momentos de inercia de una sección con respecto a unos ejes girados

Cálculo teórico del momento de inercia respecto los ejes que pasan por CDG

El momento de inercia se define como área por distancia al cuadrado. Vamos a calcular la de uno de los rectángulos de la "T" y al ser aditivo luego le sumaremos la del otro y así obtener la inercia total de la sección.

Se requiere algo de trigonometría para obtener unas expresiones más elegantes

(1)

Combinando estas ecuaciones :

Enunciado:

Sea la siguiente sección en forma de "T". Queremos calcular el momento de inercia alrededor de unos ejes que están girados 30 grados en sentido anti-horario con respecto a los originales