Imaginem que M és un conjunt normal. Si M és un conjunt normal al mateix temps estarà dins dels conjunts normals així que el conjunt M es contindrà a ell mateix en el conjunt. No obstant hem dit que en un conjunt normal el conjunt no forma part del propi conjunt llavors M no serà un conjunt normal.
Ara pel contrari direm que M és un conjunt singular. Per a que siga un conjunt singular ha d'estar al propi conjunt, dins del conjunt, però al ser M un conjunt singular no es troba dins del seu conjunt (els conjunts naturals) llavors M serà un conjunt normal, és a dir, M pertany a M.
Els axiomes són principis fonamental i indemostrables sobre els que es construeix una teoria.
Els axiomes de Peano defineixen de manera exacta al conjunt de nombres naturals. Els nombres naturals es poden construir a partir de 5 axiomes fonamentals:
Els axiomes de Peano
L'1 és un nombre natural.
Si n és un nombre natural, el successor de n (n+1) també és un nombre natural.
L' 1 no és el successor de cap nombre natural (és el primer element del conjunt).
Si hi ha dos nombres naturals n i m amb el mateix successor, llavors n i m són el mateix nombre natural.
Axioma d'inducció: si l'1 pertany a un conjunt, i donant un nombre natural qualsevol, el successor d'eixe nombre també pertany a eixe conjunt, llavors tots els nombres naturals pertanyen a eixe conjunt.
Aleph
Paradoxa de Russell
Símbol matemàtic que s'utilitza per a representar l'infinit.
Abans d'explicar la paradoxa hem de conèixer:
Explicació de la paradoxa:
Els conjunts es poden classificar en:
Conjunts normals: tots aquells conjunt que no són elements del propi conjunt.
Conjunts singulars: tots aquells conjunts que són al mateix temps un element del propi conjunt. Per exemple un conjunt que continga tots els objectes matemàtics però el propi conjunt és un objecte matemàtic.
Considerem un conjunt que continga tots els conjunts normals, l'anomenarem "M".
Aquest símbol sorgeix quan Cantor (matemàtic del segle XIX-XX,inventor de la teoria dels conjunts) defineix els nombres transfinits.
és el cardinal del conjunt dels nombres naturals
és el cardinal del conjunt dels nombres reals Aquesta quantitat és major que la de aleph 0
L'infinit de Borges: és l'infinit del temps, l'espai i els successos.
Exemple:
Hi havia un vaixell per alta mar, on solament anaven homes. El capità, als dos o tres dies, es va adonar que alguns mariners es deixaven barba. Aleshores, va cridar al barber i li va dir:
- "A partir de demà, vostè afaite a tots els mariners que no s'afaiten a si mateixos. Tot integrant del vaixell que no s'afaite, vostè ho crida i li diu que és una ordre meua afaitar-ho. Però açò sí, el que s'afaita sol, vostè no ho toca."
Al matí següent el barber es va alçar i va començar a mirar però en un moment determinat, li va sorgir un dubte. Quan va anar a afaitar-se va pensar: "No, el capità em va dir que solament afaite als que no s'afaiten a si mateixos". Llavors ell com a barber no podia afaitar-se a si mateix perquè el capità havia dit que solament afaitarà als quals no s'afaiten. En eixe moment va dir:
- "Ja està, em deixe barba".
Però no podia deixar-se barba perquè llavors estaria contradient la indicació del capità, que li va dir: "vostè ha d'afaitar a aquells mariners que no s'afaiten a si mateixos"
Per aquesta raó el barber va acabar tirant-se per la broda...
BOOOOOM!!