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Copy of Extremwertaufgaben

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by

Christian Westphal

on 30 March 2015

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Extremwertaufgaben

Extremwertaufgabe/-problem:
Aufgabe in welcher ein Wert "optimiert" werden soll

Um diese Zielgröße zu finden muss eine Zielfunktion erstellt werden

Zielfunktion besteht aus einer Haupt- und einer oder mehreren Nebenbedingungen
Beispielaufgabe:
Das Blumenbeet
In deinem Garten möchtest du ein kleines Blumenbeet anlegen aber du hast Angst, dass euer Hund eventuell die schönen Blumen kaputt macht, wenn er über das Beet läuft.

Zufällig findest du im Keller etwa 15 Meter Zaun den du verwenden möchtest um deine Blumen zu schützen.

Nun stellst du dir die Frage wie du aus den 15 Metern die größtmögliche Fläche bekommst.
Kosten- und Erlösfunktionen zu Gewinnfunktionen zusammenführen um den maximalen Gewinn ermitteln

Geometrische Formen, die durch andere Einflüsse begrenzt sind maximieren/minimieren
Bsp. Grundstücke maximal ausnutzen

Physikalische Anwendungsaufgaben (Maximales Drehmoment usw.)
Rechnung
1. Hauptbedingung ist hier die Formel für den Flächeninhalt:
A = a • b
Schritte zur Zielfunktion und zum Ergebnis
Hauptbedingung finden/aufstellen

Nach Nebenbedingungen suchen

Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen

Aufgelöste Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen -> Zielfunktion

Zum Ergebnis muss nun in der Zielfunktion nach Extremen gesucht werden
Schritte:
1. Hauptbedingung

2. Nebenbedingung

3. Nebenbedingung auflösen

4. Aufgelöste Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen

5. Zielfunktion auf Extremen untersuchen
Mathematik GFS von Eric Müller J1/8
! Überprüfen ob Maximum oder Minimum!
2. Nebenbedingung ist unser gegebener Umfang:
2a + 2b = 15 Meter

3.Aufgelöst / Umgestellt nach a:
a = 7,5 - b

4. In Hauptbedingung einsetzen:
A = (7,5 - b) • b = -b² + 7,5b

5. Berechnung des Maximums:
A' = -2b + 7,5
-> Gleich Null setzen und lösen
b = 3,75

Um 'a' zu ermitteln in die Nebenbedingung einsetzen:
a = 3,75
-> für a=3,75m und b=3,75m erhalten wir den größten Flächeninhalt (A=14.0625 m²)

Anwendungsmöglichkeiten in der Praxis:
Gliederung:
1. Was sind Extremwertaufgaben?

2. Wie rechnet man eine Extremwertaufgabe?

3. Wie sieht ein einfaches Beispiel aus?

4. Wie sieht die Rechnung dazu aus?

5. Wozu kann man diese Art von Aufgabe verwenden?

6. Einfache Übungsaufgaben zum selbst rechnen
1. Hauptbedingung

2. Nebenbedingung

3. Nebenbedingung auflösen

4. Aufgelöste Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen

5. Zielfunktion auf Extremen untersuchen
Schritte












Vielen Dank Für eure Aufmerksamkeit
Aufgaben für euch:
Nr.1 - Das Blumenbeet an der Hauswand
*Ausgangssituation ist die der Beispielaufgabe*

Zaun Länge: 15 Meter, aber anstatt das Beet freistehend abzustecken, nehmt ihr für eine Seite die Hauswand um mehr Fläche aus den 15 Metern Zaun zu bekommen.

Nr.2 - Bwl: Maximaler Gewinn

Ihr verkauft ein Produkt zum Preis von 3€. Eure Fixkosten belaufen sich auf 2€ und die variablen Kosten pro Stück auf 0,50€*x.
a) Bestimme die Haupt- und Nebenfunktionen
b) Stelle die Zielfunktion auf
c) Ermittle den maximal erzielbaren Gewinn
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