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Transformaciones Isometricas

geometría
by

Victor Godoy

on 14 January 2013

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Transcript of Transformaciones Isometricas

Reseña Histórica Todas las culturas han utilizado traslaciones, giros y simetrías en sus manifestaciones artísticas, utilizando los movimientos en el plano para crear bellísimos resultados en forma de frisos y mosaicos, entre otros tipos de decoraciones geométricas. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Una transformación de una figura geométrica indica que, de alguna manera, ella es alterada o sometida a algún cambio.
En una transformación geométrica es necesario tener presente tres elementos:
La figura original
La operación que describe el cambio
la figura que se obtiene después del cambio
La figura que se obtiene después del cambio es la imagen de la figura original a través de la operación descripta. La operación que describe el cambio es una transformación geométrica Existen tres tipos de transformaciones geométricas llamadas: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS DEFINICIÓN: Las transformaciones isómetricas son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que no alteran la forma ni el tamaño de esta. Transformaciones Isométricas Traslaciones Rotaciones Reflexiones Teselación con polígonos no regulares Simetría Axial Teselación con un polígono regular Teselación semirregular Teselaciones Simetría central Movimientos en el plano En un movimiento la única transformación que se observa es el cambio de posición, la figura no se deforma. A estas transformaciones llamamos movimientos rígidos.
En matemática consideramos la posición inicial, la posición final y la correspondencia que puede establecerse entre los puntos de una figura y su transformada. Es decir, considera al movimiento como una correspondencia de puntos Se llama traslación de un vector V a la transformación del plano en sí mismo, que a cada punto P de este hace corresponder como imagen otro punto p' del mismo plano, tal que: PP' = V TRASLACIÓN TRASLACIÓN IDÉNTICA
La traslación que transforma todo punto del plano en sí mismo se llama traslación idéntica Composición de Traslasiones Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores vectores, se obtiene otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores PROPIEDADES -La composición de traslaciones
es asociativa.
-La traslación idéntica es el elemento
neutro para la composición de traslaciones
-La composición de una traslación y su inversa es la identidad. ROTACIÓN Frecuentemente observamos objetos que giran alrededor de un punto o de un eje fijos. Asi, por ejemplo, un disco, una calesita, las aspas de un ventilador, una rueda, una puerta giratoria, las agujas de un reloj. "Rotación" significa girar alrededor de un centro:
La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma.
Cada punto sigue un círculo alrededor del centro. Se llama rotación de centro 0 y ángulo de
giro X0Y a la transformación del plano en sí
mismo, que a todo punto P de éste le hace
corresponder como imagen otro punto P' del
mismo plano, tal que
0P = 0P' y P0P' = XoY Composición de rotaciones del mismo centro La composición de dos rotaciones R1 y R2, del mismo centro, es otra rotación del mismo centro y cuyo ángulo de giro es la suma de los ángulos de giro de las rotaciones dadas. Propiedades: La composición de rotaciones del mismo centro es conmutativa
La composicion de rotaciones del mismo centro es asociativa
La rotación i´déntica es elemento neutro para la compósición de rotaciones
La composicion de dos rotaciones inversas es la identidad. SIMETRIA CENTRAL Se llama simetría de centro 0 a la transformación del plano en sí mismo, que a cada punto P de este hace corresponder otro punto p' del mismo plano, tal que la semirectas op y op' son opuestas y op es congruente con op'. PROPIEDADES COMPOSICIÓN El producto de dos simetrias de centros o1 y o2 es una traslacion de vector v, de longitud igual al duplo de la distancia de los centros. La composición de simetrias no cumple con la ley de cierre La composición de simetrias no es conmutativa La simetría central es un movimiento involutivo del plano SIMETRÍA AXIAL se llama simetria axial, de eje E, a la transformación del plano en sí mismo, que a todo punto P de este ñe hace coprresp´pnder otro punto p' del mismo plano, tal que el eje E es la mediatriz del segmento PP'. COMPOSICIÓN El producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación tal que la longitud del vector es igual al duplo de la distancia entre los ejes El producto de dos simetrías cuyos ejes se cortan en un punto 0 es una rotación de centro 0 y cuyo ángulo de giro es el duplo del ángulo formado por los ejes. El producto de dos simetrias de ejes perpendiculares es una simetria central cuyo centro es el punto de interseccion de los ejes. REFLEXIÓN FRISOS DEFINICIÓN Un friso es una banda plana que se genera mediante la traslación de un motivo de base. -Las traslaciones de vector paralelo a los bordes de la región.
-Los giros de 180º cuyo centro equidista de los bordes de la región”
-Las simetrías cuyo eje es la recta que equidista de los bordes de la región o es perpendicular a dicha recta.
-Las simetrías en deslizamiento cuyo eje es la recta que equidista de los bordes de la región. Hay cuatro tipos de movimientos en el plano que intervienen en los frisos: la traslación, el giro, la simetría axial y el deslizamiento El motivo que se traslada no presenta ningún movimiento Friso de las traslaciones y la simetría horizontal. El friso de las traslaciones y las simetrías verticales El friso de las traslaciones y simetría con deslizamiento. El friso de las traslaciones y los giros El friso de los giros y los deslizamientos. El friso más completo: Al considerar un friso del tipo 5 y añadirle la simetría de eje vertical. En matemáticas un mosaico es un recubrimiento de todo el plano mediante figuras planas que ni se solapan ni dejan huecos entre ellas. Al igual que en los frisos, los movimientos en el plano están detrás de ellos MOSAICOS Historia Fedorov, matemático y cristalógrafo ruso, fue quien hizo el primer tratamiento matemático de estos aspectos en 1891, cuando demostró que no hay más que 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formando mosaicos periódicos.
G. Polya y P. Niggli, ya en el siglo XX, redescubrieron la existencia de estas 17 estructuras del plano. Desde entonces, se ha comenzado la búsqueda, hecha por matemáticos, de decoraciones periódicas del plano en obras de arte de determinadas culturas que han destacado en estas realizaciones.
La publicación de los resultados obtenidos por unos y otros ha dado lugar a controversias. Fejes Tóth en Regular Figures, de 1964 asegura que en la Alhambra de Granada hay una representación geométrica de cada uno de los 17 modelos posibles; por el contrario, otros autores sostienen que los egipcios sólo utilizaron 12 posibilidades y que los constructores de la Alhambra llegaron a obtener 13 variantes. Recientemente, en 1986, la Asociación de Profesores de Matemáticas de Andalucía ha publicado una monografía de la geometría de la Alhambra, donde aparecen estudiados los 17 modelos allí presentes. D.S. Dye publicó en 1974, Chinese Lattice Designs, donde aparecen estudiados 14 modelos en la cultura china. Regulares Irregulares Si intentamos recubrir un plano con polígonos iguales y regulares, es fácil demostrar que sólo podemos hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos regulares, con lo que se obtienen los tres tipos de mosaicos regulares posibles. Llamaremos mosaico semirregular a la composición formada por dos o más tipos de polígonos regulares
En este caso se pueden obtener las siguientes combinaciones: (se indican los polígonos que confluyen en un vértice)
2 hexágonos + 2 triángulos equiláteros
1 hexágono + 1 triángulo equilátero + 2 cuadrados
2 cuadrados + 3 triángulos equiláteros. Dos formas diferentes.
2 dodecágonos + 1 triángulo equilátero
2 octógonos + 1 cuadrado
1 dodecágono + 1 hexágono + 1 cuadrado
1 hexágono + 4 triángulos equiláteros Son una versión acotada de las webquest.
Pueden ser creadas por docentes con poca experiencia en el manejo de las TIC.
Se realizan en un máximo de dos clases
Su estructura requiere solamente tres pasos( escenario, tarea y producto) MINIQUEST Se desarrolla en un día o en pocas horas.
Actividad que generalmente no es multidisciplinaria.
Se utilizan pocos recursos.
Puede ser realizada individualmente o en forma cooperativa. MINIQUEST Es un punto de partida en la búsqueda y selección critica de la información.
Se centra en que los alumnos busquen información.
Es una actividad guiada con recursos de internet.
Es un trabajo cooperativo en el que cada persona es responsable de una parte.
Es una actividad didáctica basada en presupuestos constructivistas del aprendizaje y la enseñanza. Hablemos de webquest De descubrimiento: elaboradas para el inicio de una unidad o tema.
De exploración: se llevan a cabo durante el transcurso del trabajo de la unidad o tema.
De culminación: son las desarrolladas para el cierre o final de una unidad. TIPOS DE MINIQUEST La lectura y la comprensión de textos.
La buena gestión de la información.
La escritura y la comunicación a través de textos.
La creatividad.
El aprendizaje en grupos. COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN LOS ALUMNOS: INTRODUCCION: sitúa la actividad en general y atrae el interés.
TAREA: que describe el producto final a alcanzar.
PROCESO: especifica los pasos o etapas a seguir para resolver la tarea.
RECURSO: detalla los recursos de consulta.
EVALUACION: que enumera los criterios que serán utilizados para la evaluación.
CONCLUSION: que invita a reflexionar sobre la experiencia. COMPONENTES: A largo plazo
Se desarrolla en varias semanas.
Actividad enfocada a varias disciplinas.
Se analiza el conocimiento profundamente.
Se colocan mas recursos que en las de corto plazo
El producto final es mas complejo. A corto plazo
Se desarrolla en muy pocas clases.
Actividad enfocada a un tema.
Es conveniente no colocar mas de cuatro o cinco recursos.
El producto final debe ser simple. TIPOS DE WEBQUEST
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