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Relaciones geométricas

Explicación simplificada de las relaciones geométricas
by

Francisco Salvador

on 16 December 2010

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Transcript of Relaciones geométricas

RELACIONES GEOMÉTRICAS 1.-RELACIONES GEOMÉTRICAS

Puede existir entre dos figuras diversas relaciones geométricas.
Pueden ser tanto gráficas como métricas y puede haber dentro de estos dos grupos otras a su vez (igualdad, equivalencia, semejanza...).

A continuación vamos a ver los distintos tipos de relaciones: 2.-PROPORCIONALIDAD

Se llama razón al resultado de dos cantidades y cada una de estas cantidades se denominan términos.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones.
a/b=c/d
Siendo a, b, c y d los términos de la proporción. 4.-TERCERO PROPORCIONAL

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.
a/b=b/c 3.-CUARTO PROPORCIONAL

El segmento -x- es cuarto proporcional de otros tres segmentos a, b y c conocidos, se obtiene por teorema de Tales y se expresa del modo:
a c
- = -
b x 6.-SEMEJANZA

Dos figuras son semejantes cuando los ángulos que tienen son iguales y sus lados son proporcionados.

a el cociente entre las longitudes correspondientes de dos figuras semejantes se denomina razón de semejanza y normalmente se designa con la letra k. 8.-CONSTRUCCION DE FIGURAS
SEMEJANTES POR HOMOTECIA
Y POR EL SISTEMA DE ÁNGULOS

Se toma un centro cualquiera de homotecia p
y en se trazan rectas desde p a todos los puntos de
la figura de manera k tengan la misma distancia
los segmentos de recta desde los puntos de la figura.
10.-PROCEDIMIENTOS PARA CONSTRUIR UNA FIGURA IGUAL A OTRA

-TRIANGULACION:
se parte de un vertice de la figura
que se quiere duplicar; se triangula y
desde otro punto se trazan los triangulos
hallados mismamente dispuestos.
Tambien se puede hacer este procedimiento
desde un punto que este situado dentro de
la fuigura.

-COORDENADAS:
se crea una recta cualquiera cerca de la
figura que queremos que queremos copiar
y perpendicularmente a la recta r y sobre
r' se situan a la misma distancia los puntos
obtenidos en la recta r correspondientes
con la figura inicial.

-RODEO:
Del poligono inicial se coge un lado
cualquiera y sobre el segmento obtenido
se van situando los angulos correspondien-
tes hasta obtener la copia del poligono inicial.

-TRANSLACION:
Desde los vertices del poligono se tranzan
rectas paralelas y de la misma deistacia;
con lo cual tendremos los vertices de
la copia del poligono y solo nos faltaria unirlos.

-CUADRICULA:
Se dibuja una cuadricula sobre la figura que queremos
copiar y se fijan los puntos donde la figura corta con la
cuadricula y luego se marcan sobre otra cuadricula igual. 11.-EQUIVALENCIA. FIGURAS EQUIVALENTES

Las figuras equivalentes son aquellas que tienen la misma extension.

-Hay que distinguir entre extension superficie y area:

-La extension es una magnitud igual que la superficie y el volumen.

-La superficie es el conjunto abarcado por la forma de la figura.

-El area de la superficie es la medida de la extension de la superficie. 13.-SIMETRIA

Se dice que dos figuras so simétricas respecto a un punto a un eje cuando al girar una de ellas al rededor del centro o del eje coincide con la otra. 14.-SIMETRIA CENTRAL

Dos puntos A y A' se dice que están en simetría de un punto C cuando están en la misma línea y equidistan de él y se tiene que cumplir la condición CA=CA'=d. 15.-CONTRUCCION DE LA FIGURA SIMETRICA DE OTRA RESPECTO A UN PUNTO

Para ello unimos todos los vértices de una figura con el punto C, y alargamos estas uniones.
A continuación pinchamos con el compas en C, con distancia C-1, que cortará con su prolongación.
en el punto 1'. Para hallar el resto de vértices se sigue el mismo procedimiento. 16.-SIMETRIA AXIAL

Los puntos en la simetría axial están en la misma perpendicular que pasa por el eje y equidistan del mismo. 17.-CONSTRUCCION DE LA FIGURA SIMETRICA DE OTRA DADA RESPECTO DE UN EJE

Partiendo de una figura F y conociéndose el eje R procedemos a trazar a partir de todos sus vértices perpendiculares al eje R que cortarán con este. 5.-Medio proporcional

Cuando en una proporción continua se desconoce el termino repetido este se llama medio proporcional. El segmento -x- de la figura es el medio proporcional de a y b
se expresa de la siguiente forma.
(a/x=b/x) o (x^2=a•b) 7.-CONSTRUCCION DE UNA FIGURA
SEMEJANTE A OTRA DADA CONOCIENDO LA RAZÓN DE SEMEJANZA

Para ello hemos de unir los vértices de la figura dada F de vértices A, B, C, D, E con un punto cualquiera P, conociendo previamente la razón de semejanza, que en este caso será 1/2. A continuación dividimos el segmento PA en dos partes siendo esta mitad el punto A', desde donde trazaremos una paralela al segmento AB, cortando en PB y consiguiéndose así el punto B'. Continuaremos así trazando paralelas hasta completar la figura. Para hallar matemáticamente el segmento x se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. 9.-IGUALDAD

Dos figuras son iguales cuando todos sus lados y ángulos son iguales y estan dispuestos en la misma posición. Pinchando en un punto S cualquiera del eje R cogemos la distancia S1 y trazamos un arco, que cortara en la perpendicular al eje trazada anteriormente desde este punto, donde estará su simétrico 1'. Obtendremos los diferentes puntos repitiendo el proceso. INDICE
1.- RELACIONES GEOMETRICAS
2.- PROPORCIONALIDAD
3.- CUARTO PROPORCIONAL
4.- TERCERO PROPORCIONAL
5.- MEDIO PROPORCIONAL
6.- SEMEJANZA
7.- CONSTRUCCION DE LA FIGURA - SEMEJANTEA OTRA CONOCIENDO - LA RAZON DE SEMEJANZA
8.- CONSTRUCCION DE FIGURAS - SEMEJANTES POR HOMOTECIA Y - POR EL SISTEMA DE ANGULOS
9.- IGUALDAD
10.- PROCEDIMENTO PARA - CONSTRUIR UNA FIGURA IGUAL A - OTRA
11.- EQUIVALENCIA. FIGURAS - EQUIVALENTES
12.- CONSTRUCCION DE UN - POLIGONO EQUIVALENTE A OTRO - PERO QUE TENGA UN LADO - MENOS
13.- SIMETRIA
14.- SIMETRIA CENTRAL
15.- CONSTRUCCION DE LA FIGURA - SIMETRICA DE OTRA RESPECTO A - UN PUNTO
16.- SIMETRIA AXIAL
17.- CONTRUCCION DE LA FIGUA - SIMETRICA DE OTRA DADA - RESPECTO DE UN EJE CONDICIONES DE SEMEJANZA:

TRIANGULOS
-Ángulos iguales en las dos figuras.
-Ángulos iguales formados por lados
proporcionales.
-Lados homólogos proporcionales.

POLIGONOS
-Compuestos por los mismos triángulos
semejantes.
-Cuando todos los lados menos uno son
proporcionales.
A partir de una figura ABCD se puede obtener una
semejante mediante el sistema de copia de ángulos. 12.-CONSTRUCCION DE UN POLIGONO
EQUIVALENTE A OTRO PERO QUE
TENGA UN LADO MENOS

Tenemos el polígono ABCDEF y cogemos
una diagonal cualquiera ej.: FB dejando
aislado un vértice: A.
La parte BCDEF es común
a las dos figuras.
Se prolonga el lado CB hasta
que corte a la paralela de la diagonal tranzada
desde el vértice A, se obtiene así el punto G
y el polígono que deseamos obtener es
CDEFG.
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