Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR METODOS ITERATIVOS

Método de Jacobi y Método de Gauss-Seidel

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR METODOS ITERATIVOS

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO Unidad Académica Profesional Cuautitlán Izcalli "Solución de ecuaciones
lineales por el método
de Jacobi y Gauss-Seidel" PRESENTA:
Daniel Maldonado Velázquez Licenciatura en Actuaría ANALISIS NUMÉRICO INTRODUCCIÓN
Cabe recordar que los métodos iterativos
representan una alternativa potente para encontrar las raíces de las funciones (intersecciones), puesto que se acercan mas al valor real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación dependerá de la cantidad de iteraciones que se este dispuesto a efectuar (relación error relativo absoluto) El método de Jacobi es un MÉTODO ITERATIVO
para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo
Ax=b
El algoritmo toma su nombre del matemático alemán CARL GUSTAV JAKOB JACOBI NOTAS ACERCA DEL MÉTODO De todos los métodos iterativos, el de Jacobi es el más fácil de aplicar y entender, sin embargo, no es muy eficiente en cuanto a la obtención de soluciones. Se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones Algunas referencias:
Álgebra lineal: una introducción moderna
By David Poole, 2da. ed. CENGAGE EN GENERAL ESTE MÉTODO SE TRATA DE:
Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones
Sustituimos estos valores en la ecuación. De esta forma, se genera una nueva aproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial.
Esta nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación y así sucesivamente hasta obtener la convergencia. Considerando las siguientes ecuaciones: 5x- 2y +z = 3
-x -7y+3z = -2
2x -y +8z =1 SE PUEDE NOTAR LA EJEMPLIFICACION
DE LA IDENFICACIÓN DE "n" variables ="n" numero de ecuaciones (sistema de ec. lineales) 3 Variables
3 ecuaciones 1- DADAS LAS ECUACIONES, DESPEJAR CADA INCÓGNITA EN FUNCIÓN DE LAS DEMÁS
La primera ecuación para la 1er variable
La segunda ecuación para la 2da variable
La tercera ecuación para la 3er variable........ 5x- 2y +z = 3
-x-7y+3z = 2 2x -y +8z =1 EN NUESTRO EJEMPLO "DESPEJAR VARIABLES" PARA RECORDAR:
El método de Jacobi consiste en usar las fórmulas anteriores como iteración de punto fijo. 2.-DAR VALORES INICIALES A LAS INCOGNITAS En nuestro ejemplo: Se necesita una aproximación inicial a la solución. Resulta que no importa cuál sea esta aproximación inicial, de modo que podemos tomar arbitrariamente: (PRIMERA ITERACIÓN CON VARIABLES EN CERO) LO CUAL NOS DARÁ COMO RESULTADO, LOS VALORES PARA LA SIGUIENTE ITERACIÓN AHORA:
x=.600
y=.285
z=.125 3.- CONTINUAR ITERANDO - - - - - - - ** PROCESO EXCEL POR LO QUE SE GENERALIZA CON: Nota: El error relativo=distancia que existe entre un punto y otro, por eso se calcula como absoluto, en el caso de que sean 3 o mas variables; se toma la norma del vector o distancia esto es: Para nuestro ejemplo: "METODO DE GAUSS-SEIDEL" Este método se llama así por C.F.Gauss y Phillip Ludwing von Seidel
Método publicado en un artículo por Seidel en 1874, y Gauss no estaba enterado
Es muy parecido al método Jacobi con excepción de que cada valor nuevo se emplea tan pronto como podamos
La convergencia se obtiene más rápido que Jacobi RETOMAMOS MISMO EJEMPLO QUE JACOBI, PARA LOGRAR VER LA DIFERENCIA (LOS PASOS SON LOS MISMO EXCEPTO A PARTIR DE LAS ITERACIONES): - con M. JACOBI **EXCEL CONVERGENCIA?? Se dice que A es DIAGONAL
ESTRICTAMENTE DOMINANTE (DED); Es decir, que el valor absoluto de cada entrada
diagonal es mayor que la suma de las entradas restante de ese renglón TEOREMA: Si un sistema de "n" ecuaciones lineales con "n" variables tiene una matriz de coeficientes DED, entonces tiene una solución única y tanto la del método JACOBI como la del método GAUSS-SEIDEL convergen en ella NOTA: EL HECHO DE QUE UN SISTEMA NO SEA (DED), NO SIGNIFICA QUE LOS METODOS ITERATIVOS VAYAN A SER DIVERGENTES, pueden o no pueden converger. TEOREMA: Si el método de Jacobi o el de Gauss-Seidel converge para un sistema de "n" ecuaciones variables en "n" variables, entonces debe converger hacia la solución del sistema EJEMPLOS EN LA LICENCIATURA:
Teoría de Consumo y distribución
Prefencias o tendencias
Minimización de costos
Maximización de recursos
Optimización del tiempo
Severidad de seguros ante "n" variables
Portafolios de inversión (Aunque seria muy tardado y es recomendable otros procesos como análisis de covarianza o programación)
EN GENERAL: TODO PROBLEMA QUE PUEDA SER MEDIDO,ANALIZADO Y CUANTIFICADO MEDIANTE "n" VARIABLES (tiempo, dinero, personas, etc..) en "n" NUMERO DE ECUACIONES maldonado@actuariayfinanzas.net
Full transcript