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Analisis de Estabilidad de lyapunov y control optimo cuadratico

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Luis Coronado

on 23 March 2013

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Analisis de estabilidad de lyapunov
y control optimo cuadratico Analisis de Estabilidad GRACIAS Control Optimo Cuadratico La estabilidad es una de las características más importantes de los sistemas dinámicos. Al analizar
la estabilidad de dichos sistemas, surgen diferentes problemas según la manera en que se la
caracterice y los sistemas en consideración. Estabilidad de los puntos de equilibrio Un punto de equilibrio de un sistema dinámico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las
soluciones que nacen en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanías; de
otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio además es asintóticamente estable si las
soluciones además de permanecer en las cercanías del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a
medida que transcurre el tiempo. A continuación se formalizan estos conceptos. ec. 13-1 Definición representa la solución de (1) dada a partir de la condición inicial x(t0 ) = x0 a
partir del instante inicial 0 t = t , entonces el punto de equilibrio x = 0 de (1) es:
• Lyapunov estable si para cada ε > 0 , hay un δ =δ (ε )> 0 tal que


• Inestable si no es estable
• Asintóticamente estable si es estable y δ se puede elegir de modo que Definidad positiva de las funciones escalares. Se dice que una función escalar
V(x) es definidapositiva en una región fi (que incluye el origen del espacio de estados) si V(x)
> 0 para todos los estados x diferentes de cero en la región Cn y V(O) = 0.
Se dice que una función variante con el tiempo V(x, t) es definida positiva en una región
CR (que incluye el origen del espacio de estados) si está limitada desde abajo por una función definida positiva variante con el tiempo, es decir, si existe una función definida positiva
V(x) tal que Definidad negativa de las funciones escalares. Se dice que una función escalar
V(x) es definida negativa si -V(x) es definida positiva.
Semidefinidad positiva de las funciones escalares. Se dice que una función escalar
V(x) es semidefinidupositivu si es positiva en todos los estados de la región a, excepto
en el origen y en ciertos otros estados, en donde es cero.
Semidefinidad negativa de las funciones escalares. Se dice que una función escalar
V(x) es semidefînida negativa si -V(x) es semidefinida positiva.
Indefinidad de las funciones escalares. Se dice que una función escalar V(x) es indefinida
si en la región 112 adopta tanto valores positivos como negativos, sin importar qué
tan pequeña sea la región fi. Forma Cuadratica Forma Hermitiana Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial x , un número real, de una manera que generaliza la operación ax^2 , un espacio vectorial de dimensión superior a 1. Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j: Segundo Metodo de Lyapunov El segundo método de Liapunov se basa en una generalización de este hecho: si el sistema tiene un estado de equilibrio asintóticamente estable, la energía almacenada en el sistema desplazada dentro del dominio de atracción se descompone conforme transcurre el tiempo, hasta que finalmente adopta su valor mínimo en el estado de equilibrio. Sistemas de Control con Modelos de Referencia Un método útil para especificar el desempeño de un sistema se basa en un modelo que produzca la salida deseada para una entrada determinada. El modelo no necesita ser un sistema físico real. Puede ser solo un modelo matemático simulado en una computadora. En un sistema de control con modelo de referencia, se comparan la salida del modelo y la de la planta, y la diferencia se usa para generar las señales de control. El sistema de control que consideraremos aquí se define mediante
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