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Correlación y Regresión no lineal

Desarrollo de la clase sobre correlación lineal
by

Sergio Jurado

on 9 June 2015

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Transcript of Correlación y Regresión no lineal

Usa tu calculadora, usando todos los modelos , ingresa datos y encuentra el valor de "r", lo elevas al cuadrado R2 para todos los modelos:
Prueba Formal de Hipótesis

Prueba Formal de Hipótesis

Coeficiente de Correlación
El
coeficiente de correlación lineal r
es una medida numérica de la fuerza de la relación entre dos variables que representan datos cuantitativos.
Concepto Clave
No LINEAL
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
Una
correlación
existe entre dos variables cuando una de ellas está relacionada con la otra de alguna manera.
Definiciones
Se debe realizar transformaciones de manera tal que los modelos no lineales se conviertan en lineales
¿Cómo medimos la correlación que no es lineal?
Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en un diagrama de dispersión.
Relación entre variables.

Parece que
el peso
aumenta
con la altura
10 kg.

10 cm.
Predicción de una variable en función de la otra
Aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... o sea, el peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.

Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y menores. Esto es relación inversa o decreciente.

Relación directa e inversa
Para valores de X por encima de la media tenemos valores de Y por encima y por debajo en proporciones similares. Incorrelación.
Para los valores de X mayores le corresponden valores de Y mayores también.

Para los valores de X menores corresponden valores de Y menores también.

Esto se llama relación directa.

En esta unidad nos referiremos a un tipo de correlación en la que la inspección de los puntos en un diagrama de dispersión nos indiquen una tendencia
no lineal.
o coeficiente de correlación de Pearson nos indica si
dos variables cuantitativas
tienen datos que en un diagrama de dispersión
tiene una tendencia
a acomodarse a una forma
lineal

Calcule r y luego calcule el:
Estadístico de Prueba
o
r es el valor de prueba
Valores críticos en la tabla A3
Valores críticos en la tabla A6
r
si |r| es mayor o igual al valor crítico, rechace Ho como verdadera
No existe correlación Lineal
Existe correlación Lineal
"Linealizaremos" los datos para calcular el grado de correlación entre las variables que no tienen un comportamiento lineal
¿Qué tipo de correlación existe?
Correlación no lineal
En el modelo de regresión lineal simple, dado dos variables
Y (dependiente)
X (independiente, explicativa, predictora).
Modelo de regresión lineal simple

Correlación no lineal
Por ejemplo, una función linealizable es la función exponencial:
Con los datos convertidos a lineales se puede hacer una prueba de hipótesis y definir si existe correlación exponencial entre las variables
Correlación no lineal:
Si existe Correlación no lineal:
1. Buscamos funciones no lineales que nos permitan la conversión
2. Una función que puede transformase a lineal se le denomina función linealizable.
Entonces
¿Cuales son esas funciones?
¿Cómo es el proceso de linealización?
buscamos encontrar una función de X muy simple (lineal) que nos permita aproximar Y mediante
= b0 + b1X
b0 (ordenada en el origen, constante)
b1 (pendiente de la recta)
y e rara vez coincidirán por muy bueno que sea el modelo de regresión. A la cantidad
e= y - se le denomina residuo o error residual.
Modelo de Regresión Lineal Simple:
Dado que el modelo es = bo + b1 x
La constante bo y la pendiente b1 se pueden calcular con:
o
Modelo de regresión lineal simple
El modelo .

= b0 + b1 x
Modelo de Regresión Lineal Simple:
Deslienalización:
Ejemplo:
¿existe una correlación lineal?
Una aerolínea desea probar si existe alguna relación entre la inversión en publicidad y la cantidad de pasajeros que transporta
Calculo del coeficiente de correlación:
Calculadoras Casio
mode
3
1
Ingrese los datos en pares
.
.
.
Resultados
Shift
Clic hacia la derecha
hasta encontrar r
2
2
.
.
.
Shift
mode
Ingrese los datos:
10
12
8
Resultados
Gráfico de dispersión
El gráfico y la prueba de Hipótesis nos confirman la
correlación lineal
que existe entre esta dos variables
Calculamos la constante y pendiente con:
Calculadoras Casio
Con los datos introducidos en el modelo lineal:
Pronóstico de pasajeros para una inversión de US$24 mil
Shift
Clic hasta encontrar r
1
=
Shift 2 (buscar r) --> 2
=
Con los datos introducidos en el modelo lineal:
Shift
1
=
=
7: Reg
Shift 1 --> 7 --> 2
Modelo de regresión lineal simple
El modelo .

= b0 + b1 x
Modelo de Regresión Lineal Simple:
Calculo del coeficiente de correlación:
Calculadoras Casio
mode
3
1
Ingrese los datos en pares
.
.
.
Resultados
Shift
Clic hacia la derecha
hasta encontrar r
2
2
.
.
.
Shift
mode
Ingrese los datos:
10
12
8
Resultados
Calculamos la constante y pendiente con:
Calculadoras Casio
Con los datos introducidos en el modelo lineal:
Shift
Clic hasta encontrar r
1
=
Shift 2 (buscar r) --> 2
=
Con los datos introducidos en el modelo lineal:
Shift
1
=
=
7: Reg
Shift 1 --> 7
Pronósticos:
¿Cuál será el N° de pasajeros si se invierte en publicidad $24 mil?
= 4.3863+1.0813x
= 4.3863+1.0813(24)
=30.3379
¿Cuál será la inversión en publicidad si se logró captar 30 mil pasajeros?
= 4.3863+1.0813x
30 = 4.3863+1.0813x
x = 23.6876
Y si la nube de puntos no se acomoda a una tendencia lineal?
X
Y
r = 0.00023
r = - 0.00031
¿Incorrelación?
Si se puede decir que existe Incorrelación por que la nube de puntos no tiene una forma definida
No existe correlacion lineal . . . por eso r = -0.00031,
Pero la nube de puntos nos dice que las variables se relacionan de una manera curva es decir no lineal
Regresión lineal y no Lineal
Para dos variables cuantitativas que se correlacionan existen dos modelos generales de regresión simple:
Regresión
Lineal
No Lineal
Directo
Logarítmico
Modelo
General
Modelos Específicos
Inverso
Exponencial
Potencial
Inverso
Cuadrático
= A + Bx
Ecuación de Regresión
= A + B ln(x)
= A e
= A x
= A + B/x
= A + Bx + Cx
Bx
B
2
En las calculadoras
Mode --> 2
Mode --> 3
Clic para buscar
Un ejemplo
Una inversión puede generar ganancias en el transcurso de un año. Los datos siguientes muestran el comportamiento de estas dos variables:
Ejemplo
El comportamiento de las variables no es muy lineal
Se debe calcular el coeficiente de determinación
R
2
= r
2
Para todos lo modelos
Gráfico de dispersión
Una inversión puede generar ganancias en el transcurso de un año. Los datos siguientes muestran el comportamiento de estas dos variables:
Ejemplo
Una inversión puede generar ganancias en el transcurso de un año. Los datos siguientes muestran el comportamiento de estas dos variables:
Ejemplo
0.8690
0.9480
0.7616
0.8855
0.6363
Se elige el modelo con un coeficiente de determinación más cercano a 1
El comportamiento de la relación de las variables es Exponencial:
Ejemplo
Con tu calculadora busca los valores de A y de B y con ellos construye la ecuación de regresión:
= 3.4155
0.0559x
e = 2.718281828 . . .
¿Cuál es el valor de las ganancias si se hace una inversión de 38 mil US$ ?
Ejemplo
Si el dato es Inversión entonces:
x = 38
En la ecuación
= 3.4155 e
0.0559x
= 3.4155 e
0.0559(38)
= 28.56 mil US$
Esta sería la ganancia para una inversión de 38 mil US$
¿Cuánto se debe invertir si se quisiera obtener ganancias de 20 mil US$ ?
Ejemplo
Si el dato es ganancias entonces:
y = 20
En la ecuación:
= 3.4155 e
0.0559x
20 = 3.4155 e
0.0559x
= 31.63 mil US$
Esta sería la inversión para obtener una ganancia de 20 mil US$
Y =
Bx
Si le aplicamos logaritmos neperianos a ambos lados de la igualdad
Y =
Bx
Ae
Bx
ln
ln
Y =
Bx
A
ln
ln
e
ln
+
Ao
Y =
ln
+
e
ln
Bx
Ao
Y =
ln
+
Si los datos fueran:
A
e
Bx
Ao
Y =
ln
+
ObJetiVos de Clase:
Definir el concepto de correlación no lineal
Desarrollar modelos de regresión no lineal
23
31
34
30
26
29
33
0.2624
0.9163
1.9459
0.5306
-0.2231
0.6931
1.6094
= ln (1.3)
= ln (2.5)
= ln (7)
= ln (1.7)
= ln (0.8)
= ln (2)
= ln (5)
Linealizamos los datos:
No existe correlación exponencial entre x e y
Existe correlación exponencial entre x e y
= 0
= 0
Ho
H1
Calculamos el coeficiente de correlación:
r =
0.8686
23
31
34
30
26
29
33
0.2624
0.9163
1.9459
0.5306
-0.2231
0.6931
1.6094
Obtenemos los coeficientes bo y b1:
bo =
- 4.1563
b1 =
0.1691
bo =
- 4.1563
b1 =
0.1691
Los coeficiente encontrados:
Se deben convertir al modelo Exponencial . . .
bo =
A0 =
lnA
bo =
lnA
A
bo
e
=
A
-4.1563
e
=
A =
0.0157
B = b1
B =
0.1691
p
y
=
e
0.0157
0.1691x
De la Tabla A-6
-0.754
0.754
Rechazar
Ho
e
Full transcript