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LIMITES DE FUNCIONES

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Augusto CACERES SUAREZ

on 26 October 2013

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Transcript of LIMITES DE FUNCIONES

LÍMITE DE FUNCIONES
Introducción.
Objetivos
LíMITES DE FUNCIONES
CONTENIDO
Introducción
Objetivos
Conceptos
Noción Intuitiva de Límites
Estimación de un limite en forma numérica y gráfica
Límites Laterales
Ejemplos
Resolución de problemas
Aplicaciones Generales
Conclusiones
Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo.Consistía en cubrir o ( agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. sumando las áreas de los triángulos se tenía una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los inventores del cálculo . sin embargo. no dieron una definición rigurosa del procedimiento
La noción de límite tiene múltiples significados. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.
Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.
La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto.
Los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque la notación moderna surgió en el siglo XVIII a partir del trabajo de diversos especialistas. Se dice que Karl Weierstrass fue el primer matemático en proponer una técnica precisa, entre 1850 y 1860.
Introducir el concepto de límite de una función.
Adquirir los conocimientos necesarios para el cálculo automático de límites.
Conceptos
Noción Intuitiva de límite de una Función
Lim x = ?
X
1
2
Cuando nos dicen
X
tiende a
1
, quiere decir que
X
se acerca a
1
Lim x= ?
x
1
2
X
x
2
Calcular Valores que se acercan a 1
1
0.9
0.95
0.99
1.1
1.05
1.01
0.81
0.9025
0.9801
1.21
1.1025
1.02
a medida que nos acercamos por la izquierda los valores crecen
a medida que nos acercamos por la derecha los valores decrecen
Estos valores crecen y decrecen hasta un valor, el cual vamos a llamar límite
Entonces el límite de esta función es igual a 1
Lim x = 1
2
x
1
1
Lim x = 1
2
x
1
Noción Intuitiva de límite de una Función
9x
2
- 1
F(x)=
3x - 1
Función definida para todos los valores de X excepto x=
1
3
Si x =
1
3
, el numerador y el denominador se pueden dividir por 3x-1
F(x)=
3x - 1
(3x - 1)
(3x + 1)
F(x)=
(3x + 1)
,
x =
1
3
Analicemos el comportamiento de F(x) para valores cercanos pero no iguales a
1
3
x
f(x)=
9x
2
-1
3x-1
x
f(x)=
3x+1
0.1
0.2
0.3
0.33
0.333
0.5
0.4
0.3
0.33
0.333
1.3
1.6
1.9
1.99
1.999
2.5
2.2
1.9
1.99
1.999
De las dos tablas se puede observar que a medida que X se acerca a
1
3
f(x) se acerca cada vez más a
2
Lim f(x)=
x
1
3
2
La Representación gráfica de f(x)=
9x
2
-1
3x-1
es la de la recta f(x)= 3x+1 pero con un "salto" en el punto (
1
3
,
2
)
Estimación de un límite en forma numérica y gráfica
F(X)= X
2
En la primera tabla los valores se toman menores a 2. Es decir, se acercan por la izquierda de 2.
En La segunda tabla se acercan por la derecha
Lim x
2
= 4
x
2
Límites Laterales
Los Límites que tienen distintos valores al realizar aproximaciones por derecha o por izquierda se denomina
Simbólicamente
Gráfica
Gráfica
Límites laterales
Límite por la derecha
Lim f(x)= L
x
a+
Límite por la izquierda
Lim f(x)= M
x
a-
Lim f(x)= L
x
a+
Indica que si X se acerca infinitamente por la derecha de a, entonces F(x) tiende a L
Lim f(x)= M
x
a-
Indica que si X se acerca infinitamente por la izquierda de a, entonces F(x) tiende a M
Ejemplo Límites laterales
f(x)=
[
4 - x
2
2 + x
2
Si x<=1
Si 1<x
Encuentra con ayuda de la gráfica cada uno de los siguientes límites
Lím f(x)
Lím f(x)
x
1
x
1
-
+
Ejemplo Límites laterales
Si x toma valores cada vez más cercanos a 1, por la izquierda entonces las imágenes se acercan a 3
Lím f(x)
x
-
1
= 3
Ejemplo Límites laterales
Si x toma valores cada vez más cercanos a 1, por la derecha entonces las imágenes se acercan también a 3
Lím f(x)
= 3
x
1
+
Por lo anterior, se tiene que:
Lim F(x)
Si f es una función y a es un punto que pertenece a algún intervalo abierto en el que f está definida (excepto, posiblemente en a), entonces.
Dado el ejemplo anterior, es posible establecer que para que el límite de la función exista, los límites laterales deben también existir y además, ser iguales
x
1
-
x
1
+
Lim F(x)
=
Lim f(x)=L,
si y solo si
lim f(x)= L
y
lim f(x)= L
x
x
x
a
a
a
-
+
Además, indica que si el límite existe, es único
Ejemplos
Completa cada una de las siguientes tablas de valores para estimar el límite de la función dada
Lim (3x-5)
Lim
x
2
x
f(x)
1.9
1.99
1.999
2.001
2.01
2.1
x-1
x-1
x
1
2
x
f(x)
0.9
0.99
0.999
1.001
1.01
1.1
Ejemplos
Responda las preguntas de acuerdo con la gráfica
lim f(x)
lim f(x)
x
1
x
1
-
+
Ejemplos
si g(x)=
x+3, si x<= -2
3-x, si x > -2
[
Calcula:
Lim g(x)
x
2
+
Lim g(x)
x
-2
Método de exhaución
El método de exhaución se atribuye a Eudoxo y se utilizaba para el cálculo de áreas de figuras, longitudes de curvas, volúmenes de cuerpos, tangentes de curvas. etc.
Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud
Método de exhaución
Aplicaciones de los límites
Límites en la economía
Límites en la química
Se emplean para saber reacciones de concentración
Límites en la medicina
Se emplean para la creación de medicinas, los límites ayudan a saber la cantidad suficiente de sustancia a utilizar en el medicamento, y así evitar efectos colaterales
Límites en la estadística
En el campo de la estadística los límites sirven para delimitar rangos de una muestra.
Límites en la física
Sirve para obtener el área de las curvas y el movimiento rectilíneo uniforme acelerado
Límites en la Ingeniería
Son empleados por los ingenieros para determinar problemas de altura, peso y anchura.
Sirve para conocer el valor máximo o mínimo que puede adquirir nuestro dinero en el mercado financiero en cierto periodo de tiempo.
Actualmente se emplea en la nanotecnología, para saber los limites que debe llevar cada sustancia
Conclusión
Los límites de funciones se pueden aplicar en la mayoría de áreas de la vida cotidiana, permitiendo realizar cálculos como por ejemplo el estado financiero de una empresa o un país y así poder tomar decisiones.
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