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Il Pi greco - 14 Marzo

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by

Shahzeb Mohammad

on 28 July 2016

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Transcript of Il Pi greco - 14 Marzo

Il è una costante matematica indicata con π (si scrive
pi
se le lettere greche non sono disponibili), utilizzata in matematica e fisica e non solo.
Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero strettamente positivo per cui sin(x)=0, oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.
Pi greco
Il giorno dedicato al Pi greco è il 14 marzo: la scelta è ispirata dalla grafia anglosassone del numero 3.14, grafia che indica, con l'approssimazione ai centesimi di pi greco, la data 3=marzo, 14=giorno. Inoltre alcuni celebrano la ricorrenza dalle ore 15, in modo di adeguarsi all'approssimazione 3.1415.
La prima celebrazione del "Pi Day" si tenne nel 1988 all'Exploratorium di San Francisco, per iniziativa del fisico americano Larry Shaw, in seguito insignito del titolo di "Principe del pi greco". Il calendario della prima manifestazione prevedeva un corteo circolare attorno ad uno degli edifici del museo e la vendita di torte alla frutta, decorate con le cifre decimali del pi greco.
Il regno del
La lunghezza di una circonferenza di raggio r:
C = 2 r
L'area di un cerchio di raggio r:
A = r^2
L'area di un'ellisse di semiassi a e b:
A = ab
Il volume di una sfera di raggio r:
V = 4/3 r^3
L'area della superficie di una sfera di raggio r:
S = 4 r^2
Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r:
V = r^2 h
L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r:
S = 2 r . (r+h)
Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti.
Il volume di un cono di altezza h e raggio r:
V = r^2 h/3
Il periodo di oscillazione del pendolo:
T = 2 l/g
Il simbolo π per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco.
Storia
del
Inoltre il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Eulero usava il simbolo p.
E' noto che i popoli della Mesopotamia e del Medio Oriente consideravano π uguale a 3.
Anche nella Bibbia troviamo un riferimento a questo valore, che doveva costituire per tutti gli scopi pratici un’approssimazione soddisfacente e largamente utilizzata. Ecco la descrizione dell’enorme bacile, il “mare di bronzo”, che ornava il tempio di Salomone:
«Fece un bacile di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all’altro, tutto rotondo; la sua altezza era di cinque cubiti ed era circondato da un orlo di trenta cubiti».
Antico Testamento, I Re, 7:23
Datazione: circa 550 a.C
Una tavoletta babilonese risalente al 1900 a.C. definisce pi greco come il rapporto 25/8, pari a 3.125, valore utilizzato anche dal famoso architetto romano Vitruvio.
I Babilonesi sapevano che il perimetro dell’esagono inscritto in un cerchio è tre volte il diametro; stimavano che il rapporto tra tale perimetro e la misura della circonferenza fosse dato dalla frazione 57/60 + 36/602 e ottenevano:
Non è tuttora noto il procedimento che conduceva i Babilonesi a questa stima del rapporto esagono/circonferenza; è interessante notare che esso è espresso in base sessagesimale.
I matematici antichi avevano notato che esiste un rapporto costante anche tra l’area di un cerchio e quella del quadrato costruito sul suo raggio. A prima vista questo rapporto appariva uguale a π, ma la certezza di questa equivalenza si ebbe solo molto più tardi.
Gli antichi Egizi erano convinti che il π che si trova nelle formule che esprimono la lunghezza della circonferenza e l’area di un cerchio fosse lo stesso. Nel 1855 fu scoperto il papiro di Rhind, in cui lo scriba Ahmes intorno al 1650 a.C.
Frammento del Papiro di Rhind (1650 a.C.)
British Museum di Londra
enunciò 84 problemi algebrici e geometrici con le relative soluzioni; in una di queste viene fornito un metodo per determinare il rapporto tra le aree del cerchio e del quadrato del suo raggio, ovvero il numero π.
Quanto vale π per gli Egizi?
Detto d il diametro del cerchio, la sua area S secondo il Papiro di Rhind è:
Il calcolo dell’area con la nota formula che utilizza il π fornisce il valore:
Uguagliando queste formule si ottiene:
"Esplorare π è come esplorare l’universo…"
David Chudnovsky
La matematica in Grecia: la geometria
Nel mondo greco, la matematica, la geometria soprattutto, supera lo status di semplici conoscenze pratiche, funzionali al lavoro e alla tecnologia, e diventa pura astrazione concettuale, insieme di verità assolute e autonome che la mente umana è in grado di raggiungere.
Uno dei primi grandi matematici dell’antica Grecia fu Eudosso di Cnido, che conseguì grandi risultati soprattutto in geometria e astronomia. A lui si deve, ad esempio, la dimostrazione rigorosa del fatto che il rapporto tra le aree di due cerchi è uguale al quadrato del rapporto dei loro diametri (o dei loro raggi).
Eudosso di Cnido (408 - 355 a.C.)
Euclide e la quadratura del cerchio
Il problema della quadratura del cerchio ha impegnato i matematici per secoli, e solo nel 1882 il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann dimostrerà definitivamente che esso non ha soluzione. Questo problema coincide, ovviamente, con quello della determinazione esatta di π, che dopo Euclide sembrava possibile: infatti egli afferma che, considerati i poligoni regolari inscritti in un cerchio, aumentando il numero dei lati la differenza fra l’area del cerchio e quella dei poligoni può essere resa più piccola di qualsiasi quantità positiva arbitrariamente piccola. Nel linguaggio dei limiti, che formalmente nascerà duemila anni dopo, si scrive:
Dove C è la circonferenza e 2P il perimetro del poligono inscritto; se il diametro del cerchio ha misura 1, si ha anche:
Euclide di Alessandria (IV - III sec. a.C.)
Il tentativo di Archimede
Archimede ebbe un’idea innovativa: determinare i limiti entro i quali π poteva variare, raffinando poi la ricerca per quanto possibile. Per semplicità di costruzione e di calcolo partì dall’esagono inscritto e circoscritto a un cerchio di diametro d, e considerando che la circonferenza doveva essere compresa tra i loro perimetri, ottenne la relazione:
Quindi raddoppiò il numero dei lati, costruendo i dodecagoni e trovando:
Archimede continuò a raddoppiare, fino a calcolare per il poligono di 96 lati:
ovvero:
Archimede di Siracusa (287 - 212 a.C.)
In Cina si usavano per π valori grossolani, come 3 o radice di 10; nel 263 d.C. il matematico Liu Hui utilizzò un metodo simile a quello di Archimede, giungendo però a una migliore approssimazione. Partì da un poligono inscritto di n lati di misura M: applicando il teorema di Pitagora da AP = M/2 trovò OP, PC = r - OP e, ancora con Pitagora, determinò la misura m del lato del poligono inscritto di 2n lati.
Con questo metodo, Liu Hui riuscì a calcolare l’area dei poligoni inscritti e circoscritti di 192 lati, giungendo a determinare questi limiti per π:
A questo punto Liu dice che 3.14 è già una buona approssimazione per π, e la esprime come 157/50; afferma anche di aver interpolato i due valori qui sopra trovando π = 3.1416, e che questo valore coincide con quello ottenuto nel calcolo del poligono di 1536 lati. Dunque secondo Liu non vale la pena andare oltre, e il suo calcolo si ferma qui.
Liu Hui (III sec.d.C.)
Nel mondo dell’Islam, il matematico e astronomo Claudio Tolomeo (100 - 170 d.C.) usava la frazione 377/120 = 3.1416666 senza però darne motivazione; tale valore restò in uso per secoli, finché nel 1429 Al-Kashi, calcolando il perimetro di un poligono di 3 · 2 lati, determinò π alla sedicesima cifra decimale:
28
Per la prima volta nella storia, l’uomo conosce π con più di 10 cifre decimali.
Al - Kashi (1429)
I crediti
Realizzato da:
Mohammad Shahzeb - 2^M (A.S. 2013-2014)
Liceo Classico Statale “Ludovico Ariosto” – Ferrara
Musica di:
All rights reserved. Liceo Classico Statale “Ludovico Ariosto” – Ferrara
per la vostra attenzione
Grazie
-
In India si arrivò a ricavare che, se a è uguale al lato di un poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio di diametro unitario, e b è il lato di un poligono regolare inscritto di 2n lati, allora

(Aryabatha, V sec. d.C)
(Brahmagupta, VII sec. d.C.)
-
-
Gli sviluppi del calcolo in Europa
Nel 1202 il grande Leonardo Fibonacci, che introduce in Europa il sistema di numerazione indo-arabo (Liber Abaci), calcola l’approssimazione π = 3.141818, esatta solo nelle prime quattro cifre significative.
Nei quattro secoli successivi, i matematici europei non faranno altro che ritrovare risultati già ottenuti dai matematici orientali, utilizzando in sostanza lo stesso metodo di approssimazione del cerchio mediante poligoni con un grande numero di lati.
Il paese in cui si ottengono i maggiori risultati è l’Olanda; verso la fine del XVI secolo i progressi sono tali da uguagliare e superare la precisione dei calcoli precedenti.
Nel 1593 Adriaen von Rooman calcola π con 15 decimali usando un poligono di 2 lati. Nel 1596 Ludolph van Ceulen, applicando il metodo di Archimede con incredibile ostinazione, calcola π con 20 decimali, usando un poligono di 60 · 2 lati. Nel 1609 arriva a 34 decimali, che vuole iscritti nell’epitaffio della sua pietra tombale. Ancora oggi, in Germania, π è detto “numero di Ludolph”.
30
33
Ricostruzione dell’epitaffio tombale di
Ludolph van Ceulen (1539 - 1610)
Archimede
Il prodotto di Wallis
John Wallis fu uno dei precursori dell’analisi infinitesimale. I suoi metodi di calcolo delle aree mediante somme di piccoli rettangoli costituiscono l’idea di base del calcolo integrale; lo stesso Newton studiò a fondo le sue opere.
Nel 1655 pubblicò una formula per il calcolo di π che deriva da questa approssimazione, applicata alla curva che rappresenta il quarto di circonferenza di raggio unitario. Operando a passi successivi, con una pazienza certosina Wallis ottiene il prodotto infinito:
John Wallis
La formula di Viète usa numeri irrazionali, mentre questa bella formula dà il valore di π, che come vedremo è un numero irrazionale e trascendente, usando soltanto numeri razionali. Tuttavia, essa converge molto lentamente: per trovare l’approssimazione π = 3.14 sono necessarie 500 iterazioni.
Il primo valore geometrico
Brouncker: π come frazione continua
Operando sulla formula di Wallis, William Brouncker la trasformò in una frazione continua:
Le frazioni continue sono un modo diverso e interessante di esprimere i numeri reali. Esse sono dette regolari se i loro numeratori sono tutti uguali a 1, e possono essere finite se esprimono numeri razionali, o infinite se esprimono numeri irrazionali. Ad esempio, si ha:
[3,2,1,5]
[1,2,2,2,...]
[1,1,1,1,...]
[3,7,15,1,292,...]
Il mago Eulero
A Leonhard Euler va riconosciuto un ruolo di primissimo piano nella storia della matematica e nella storia del π. Ha lasciato il segno della sua genialità in moltissimi campi del calcolo e della geometria, e ha scritto “la più bella formula di tutta la matematica” (Richard Feynman), base dell’analisi complessa:
Nei ritagli di tempo, Eulero ha scoperto molte formule infinite che conducono al valore di pi greco; eccone alcuni esempi:
Leonhard Euler (1707 - 1783)
William Brouncker (1620 - 1684)
Papiro di Rhind
π è un numero irrazionale
I numeri che si possono esprimere come rapporto tra due numeri interi sono detti numeri razionali. Sono razionali, ad esempio, 1.4 = 7/5 e 0.1666… = 1/6.
I numeri che non possono essere espressi in tal modo sono detti irrazionali; tali sono, ad esempio, √2 e ø, la famosa "sezione aurea". Questi numeri hanno infiniti decimali, non periodici, e sono stati un incubo per i matematici greci, soprattutto per quelli della scuola di Pitagora.
Nel 1761 Johann Lambert dimostrò, usando le frazioni continue e ragionando per assurdo, che anche π è irrazionale. Partendo dall’ipotesi contraria, ponendo cioè π = a/b con a e b interi, Lambert giunse a dimostrare che anche tan π/4 deve essere irrazionale; ma poiché tan π/4 = 1, che è razionale, se ne deduce che ad essere falsa è la premessa di razionalità di π. Dunque π è come √2? Non proprio. Nel 1794 Adrien Legendre dimostrò che anche π è irrazionale, al contrario di quanto vale per √2.
Da questo risultato sembra, in definitiva, che pi greco possieda una irrazionalità “maggiore”, una natura più complessa dei numeri che derivano la loro irrazionalità dal fatto di essere “sotto radice”; infatti, π non può essere espresso usando solo numeri razionali e radicali.
Johann Heinrich Lambert
(1728 - 1777)
Adrien Marie Legendre (1752 - 1833)
2
π è un numero trascendente
I numeri reali o complessi che si possono considerare come soluzioni di un’equazione algebrica a coefficienti interi sono detti numeri algebrici. Sono algebrici tutti i numeri razionali e alcuni irrazionali.
I numeri che non sono algebrici sono detti trascendenti; questa definizione si deve ad Eulero, secondo il quale certi numeri «trascendono la potenza dei metodi algebrici». Questa congettura troverà conferma solo nel 1844, ad opera di Joseph Liouville. Georg Cantor scoprirà poi che i numeri trascendenti sono infinitamente più numerosi degli irrazionali, e determinerà, come Liouville, procedimenti che permettono di costruire numeri trascendenti.
Allora π è trascendente? Il problema era importante, perché ad esso sono le gate le questioni sulla quadratura del cerchio. Sarà Ferdinand von Lindemann a dare nel 1882 la definitiva dimostrazione della trascendenza di π, e a mettere la parola fine ai tanti tentativi di costruzione con riga e compasso.
Humour
Cos’è Pi Greco?
Matematico: Pi è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro.
Ingegnere: Pi è circa 22/7.
Fisico: Pi è 3.14159 più o meno 0.000005.
Informatico: Pi è 3.141592653589 in doppia precisione.
Nutrizionista: Voi... avete tutti la stessa mentalità matematica: Pie in realtà non è altro che un dolce sano e gustoso!
3,1415926535 8979323846 2643383279
5028841971 6939937510 5820974944 5
Principali motivi per cui "e" è meglio di "pi"
"e" è più facile da definire rispetto a "pi greco"
Il carattere di "e" può essere trovato su una tastiera, mentre "pi" di certo non ci riesce
Ognuno combatte per la propria fetta del "pie"
"e" viene utilizzato nel calcolo infinitesimale, mentre "pi greco" è usato nella geometria da bambini...
Non hai bisogno di sapere il greco per essere in grado di utilizzare "e"
Non si può confondere "e" con un prodotto alimentare (pie)
Curiosita
,
- Un numero
Nel settembre 2002 Yasumasa Kanada, dell’Università di Tokio, insieme a un team di 9 ricercatori, ha calcolato il valore di pi greco con 1 241 100 000 000 cifre decimali. Il calcolo è stato effettuato su una rete di 64 computer Hitachi SR 8000/MPP e ha richiesto 601 ore e 56 minuti di lavoro. La progettazione del programma utilizzato da Kanada ha richiesto circa cinque anni di lavoro.

Il Times di Londra ha fatto notare che basta conoscere pi greco con 39 cifre decimali per calcolare la circonferenza di un cerchio che comprenda tutto l’universo noto, con un'approssimazione pari al raggio di un atomo di idrogeno.
Il prof.Kanada ha replicato che gli piace calcolare le cifre di pi greco “perché è una sfida”.
Yasumasa Kanada (1948 - ...)
La targa dell’auto di Kanada
Record
Il 31 dicembre 2009 Fabrice Bellard ha rivendicato il record mondiale per il calcolo di π, per aver calcolato quasi 2,7 trilioni di cifre in 90 giorni. Il 2 agosto 2010, questo record è stato eclissato da Shigeru Kondo che ha calcolato 5.000 miliardi cifre, anche se questo è stato fatto con un server che utilizza due processori Intel Xeon, dotato di 96 GB di RAM.
Fabrice Bellard
Shigeru Kondo
Ma nel mondo della matematica non tutti apprezzano. Secondo Philip Davis, ad esempio,
"il misterioso e mirabile π è ridotto a un gargarismo che aiuta i computer a schiarirsi la voce".
I tuoi dati bancari si possono scovare
tra le cifre di π
Il Pi Greco è un numero irrazionale, il che significa che la sua rappresentazione decimale continua illimitatamente. Ciò significa anche che ogni numero possibile che vi venga in mente è nascosto da qualche parte nel Pi Greco: date di nascita, numeri di telefono, conto bancario.
Potremmo anche convertire numeri in lettere e trovarci dentro la Bibbia, un'opera completa di Shakespeare o ogni libro mai scritto.È anche possibile cercare ogni stringa di numeri fino a 120 caratteri all'interno dei primi 200 milioni di cifre del Pi Greco.

La mia data di nascita,
14/01/1998 | 14011998,
appare alla posizione
112,213,801
(contando dalla prima cifra dopo la virgola).
La stringa di cifre è individuabile in grassetto tra le due successioni adiacenti:
27396347024533402698
14011998
56339952559113284341
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(www.angio.net/pi/)
- Come ricordare
Alcune filastrocche permettono di ricordare i primi decimali di pi greco. Ad esempio:
Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza.Che n'ebbe d'utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?
- Il teorema del delirio
Film di Darren Aronofsky (1998), è un thriller paranoico e ipercinetico che racconta l’avventura di un matematico alla ricerca del significato profondo dei numeri, considerati come fondamenti sia delle leggi di natura che dei comportamenti individuali. Le sue ricerche possono però portare anche alla previsione degli andamenti di borsa, e perciò interessano anche ad altri… un film interessante e impegnativo, con un finale enigmatico e aperto a varie interpretazioni.
Poster del film
-
Carl B. Boyer:
Storia della matematica,
Oscar Saggi, Mondadori.
Petr Beckmann:
A History of Pi,
1976, St Martin’s Press.
David Blatner:
Le gioie del Pi Greco,
Garzanti.
Jean-Paul Delahaye:
L’affascinante numero π,
SEDES.
Altre cose interessanti
Secondo alcune persone - che forse hanno visto troppe puntate di Voyager- la grande piramide di Cheope contiene sia il numero π (il rapporto tra lato e altezza è vicino a π/2) che la sezione aurea ø (rapporto tra l’altezza della faccia laterale e metà base). Si attribuisce la notizia a Erodoto, che a sua volta l’avrebbe appresa dai sacerdoti egiziani.
La piramide di Cheope
In Australia c’è un club del π: per associarvi, dovete conoscerne a memoria almeno 100 cifre.
Software utilizzato per la presentazione:
"Prezi - Ideas matter"
(www.prezi.com)
"Ye Dooriyan -Instrumental"
"Eros Now"
(www.erosnow.com)
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"Titanic - Instrumental"
"Sony Music Classical"
(www.sonymasterworks.com)
Creazione grafica di Daniela Gambi
Docente: Daniela Gambi
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