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ECUACIONES DIFERENCIALES POR SUSTITUCIÓN

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Yuli Stefani Sarmiento Sánchez

on 25 February 2016

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Transcript of ECUACIONES DIFERENCIALES POR SUSTITUCIÓN

Al sustituir dy/dx con f(x, y) y y con g(x, u) en la derivada anterior, obtenemos la nueva ecuación diferencial de primer orden

Luego
SUSTITUCIONES
Se quiere transformar la ecuación de primer orden
dy/dx =f(x, y) con la sustitución y = g(x, u) , en que u se considera función de la variable x.

Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, la regla de la cadena da:



Supongamos...
Para resolver una ecuación diferencial:

-Se reconoce en ella cierto tipo de ecuación (separable, por ejemplo)

- Aplicamos un procedimiento formado por etapas del tipo de ecuación que nos conducen a una función diferenciable, que satisface la ecuación.

A menudo, el primer paso es transformarla en otra ecuación diferencial mediante sustitución.
ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Las ecuaciones diferenciales homogéneas de grado n se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables separables, utilizando cualquiera de las dos sustituciones, o cambios de variables siguientes:

Ejercicios:
ECUACIONES DIFERENCIALES POR SUSTITUCIÓN
Yuli Sarmiento
después de despejar du/dk, tiene la forma:



Si podemos determinar una
solución


entonces una solución de la ecuación diferencial original es
FUNCIÓN CUMPLE LA PROPIEDAD
UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
ES HOMOGÉNEA SI M y N TIENEN EL MISMO GRADO:
Donde u y v son nuevas variables dependientes
solución implícita
solución explícita
Ejemplo 2
Ejemplo 3:
solución implícita
Ejemplo 4:
solución implícita
Ejercicio 5:
solución implícita
Ahora a practicar!!
Resuelva cada una de las ecuaciones en los problemas con la sustitución apropiada.

Conclusiones
Bibliografía
LIBRO: Ecuaciones Diferenciales, Dennis G. Zill (sexta edición) tomado de: https://deymerg.wordpress.com/2013/07/23/ecuaciones-diferenciales-dennis-g-zill/ Capítulo 2
Ejercicios, métodos de solución ecuaciones homogeneas http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/reducible_homogen_separ.htm
Es importante conocer el método de solución de una ecuación diferencial homogénea como M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ya que se puede resolver por sustitución algebraica.

Alguna de las dos sustituciones y = ux, o x = vy, se deben usar donde u y v son nuevas variables dependientes, y reducen la ecuación a
una ecuación diferencial separable, de primer orden.

Para demostrarlo, sustituimos y = ux y u diferencial, dy = u dx + x, en la ecuación.
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