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LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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by

Alvaro Alvarez Budd

on 21 January 2015

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Transcript of LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos
Alvaro Alvarez Tomas
Un poco de historia...
Todo comenzó cuando el matemático italiano Girolamo Cardano propuso en 1545 el siguiente problema:
"Descomponer el número 10 en dos números que multiplicados den 40."
Los números complejos, designados con la letra
C
, son una ampliación de los números reales (
R
). Están formados por una parte real y otra imaginaria. Se denomina
unidad imaginaria
el número:
Conjugado de un número complejo

Así, si x e y son dos números, el problema se expresa como:
x + y = 10 x · y = 40
Para resolver este sistema se despeja y = 10 - x:
La dificultad que existe es que encontramos la raíz cuadrada de -1, ya que el cuadrado de un número no puede ser nunca positivo.
Así pues, es necesario ampliar el conjunto de números reales (R), e inventar un
número cuyo cudrado sea igual a -1.
Este número fue designado por primera vez en 1799 por Euler, con la letra
i.
Así, se denomina
unidad imaginaria
el número:
COMPLEJOS C
5-7i
-2 -1/3 i
4 - i
Reales R
0 2/3
-3 3,1415...
I/2
IMAGINARIOS PUROS
3i
-7i
FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
La forma binómica de un número complejo se representa mediante la expersión:
z = a + bi
El número
a
s llama
parte real
, y se denota como
a = Re(z)
El número
b
se llama
parte imaginaria
, y se denota
b = lm(z)
Si
b = 0
, el número complejo se reduce a un
número real
, puesto que
a + 0i = a
Si
a = 0
, el número complejo se reduce a
bi
, y pasa a ser un
número imaginario puro
.
Entonces, dos números complejos son iguales si
son iguales su parte real e imaginaria:
Si
z = a + bi
y
z' = a' + b'i
;
entonces

z = z'
<=>
a = a'
y
b = b'
Dos complejos son conjugados si tienen la misma parte real y sus partes imaginarias opuestas.
El conjugado de es el complejo
Ejemplo:
3 + 7i es el conjugado de 3 -7i
El conjugado del conjugado es el número original:
Opuesto de un número complejo:
Dos complejos son
opuestos
si tienen sus partes reales e imaginarias opuestas:
El
opuesto
del complejo
z = a + bi
es el complejo
-z = -a -bi
Ejemplo:
El opuesto de 3 - 4i es -3 + 4i
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Suma y diferencia
Las operaciones con números complejos son análogas a las operaciones con números reales. En ellas hay que tener en cuenta que:
La
suma
y la
diferencia
de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí,:
Suma:
(a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i
Ejemplo:
Dados
z1= 3 - 2i
y
z2 = 5 + 8i
, calcula z1 + z2
Resta:
(a + bi) - (c + di) = a - c + (b - d)i
z1 + z2 =
(3 - 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (-2 + 8) =
8 + 6i
Ejemplo:
Dados
z1= 3 - 2i
y
z2 = 5 + 8i
, calcula z1 - z2
z1 - z2 =
(3 - 2i) - (5 + 8i) = (3 + 5) + (-2 - 8)= =
-2 -10i
PRODUCTO
El
producto
de dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma,y teniendo en cuenta que i^2 = -1
(a + bi) (c + di) = ac - bd + (ad + bc)i
Ejemplo:
Dados
z1= 3 - 2i
y
z2 = 5 + 8i
, calcula z1 · z2
z1 · z2 =
(3 - 2i) · (5 + 8i) = 3 · 5 - (-2) · 8 + = = [3 · 8 + (-2) · 5] i =
=
31 + 14i
COCIENTE
El
cociente
de números complejos se hace racionalizando el denominador, es decir, multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado de este último.
Ejemplo:
Dados
z1= 3 - 5i
y
z2 = 4 + 3i
, calcula z1 : z2
Potencias de números complejos
La potencia de un número complejo se calcula desarrollando la potencia correspondiente del binómio (a + bi) y teniendo en cuenta las potencias del número i.
Potencias sucesivas de i:
Los valores de las potencias de i se van repitiendo de 4 en 4. De tal manera, se puede calcular con facilidad potencias altas de i, basta con divir la potencia por 4 y calcular la potencia del número que tiene por exponente el resto.
El mismo fenómeno se produce en las potencias de exponente negativo:
Representación gráfica
Para representar gráficamente un número complejo se dibuja sobre el plano un sistema de ejes cartesianos.
En el eje de abscisas (x) se representa el componente real, por lo que se llama
eje real
.
En el eje de ordenadas (y) se representa el componente imaginario, por lo que se llama
eje imaginario.
Este plano se denomina
plano complejo.
De esta forma, a cada número complejo (z= a + bi) se le hace corresponder un punto A (a, b) que se llama
afijo
del número complejo, cuyo vector de posición es
El afijo del conjugado de
z
es el simétrico de su afijo respecto al eje real.
El afijo del opuesto de
z
es el simétrico de su afijo con respecto al origen.
Modulo de un número complejo
El
módulo de un número complejo
z es el módulo del vector de posición de su afijo, Se representa por
|z|.
Dado un número complejo z = a + bi se tiene: |z| = | | =
Propiedades
1)
Si z = a es real, su modulo coincide con su valor absoluto ya que = | a |
2)
| z | = 0 <-> z = 0
3)
| z | = | |, ya que | z | = a + b = | |
2
2
2
2
FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Argumento de un número complejo
El
argumento
de un número complejo z = a + bi es el ángulo que forma el eje OX positivo con el vector que une el origen de coordenadas con el punto (a, b). Se denota
arg (a + bi).

Aplicando trigonometría, se comprueba que arg (a+bi) =
La expresión no determina unívocamente el argumento de un número complejo, pues hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad. Para saber cual es el argumento hay que tener en cuenta los signos de a y b, para así situarlo en un cuadrante o en otro. Este se llama
argumento principal.
Forma polar de un número complejo
Un número complejo está escrito en
forma polar
cuando se expresa en función de su módulo y su argumento:
Módulo
Argumento
Teniendo en cuenta que un número complejo se representa como z = a + bi, se verifica:
Ejemplo:
Forma trigonoméica de un complejo
Si sustituimos los valores de a y b:
Así, la expresión en
forma trigonométrica
queda como:
PRODUCTO, COCIENTE Y POTENCIA EN FORMA POLAR
El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de estos.
El cociente de dos números complejos en forma polar se puede obtener teniendo en cuenta que es la operación inversa a la del producto
La potencia enésima de un número complejo en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo la potencia enésima del módulo, y por argumento, n veces el argumento del complejo dado:
PRODUCTO:
COCIENTE:
POTENCIA:
-
RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
El concepto de raíz de un número real también puede aplicarse a los números complejos, pero para que un número complejo sea la raíz enésima de otro debe cumplirse que:
La igualdad de complejos exige dos condiciones:
1) Que los módulos sean iguales
2) Que los argumentos difieran en un número exacto de vueltas completas
Por tanto, aplicando esto a la igualdad anterior:
Dando valores enteros a
k
desde cero a n-1, se obtienen
n
argumentos que cumplen las condiciones. Así para k >/ n se obtienen argumentos que difieren de los otros en un número entero de 2T| radianes.
Esto prueba que un número complejo tiene n raíces complejas.
Las raíces enésimas de un número complejo son n números complejos que tienen de módulo la raíz enésima del módulo, y por argumento .
Argumento en grados
Los argumentos de las raíces en grados se calculan con la fórmula:
Ejemplo:
Calcula las raíces cuartas de 81 120º. ¿Qué figura forman sus afijos?
FIN
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