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Centro de massa e Momento linear de um sistema de particulas

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Diogo Miranda

on 13 November 2012

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Transcript of Centro de massa e Momento linear de um sistema de particulas

Phase 2 Results Centro de massa Ponto representativo do sistema a que se atribui a massa do sistema e onde se considera aplicada a resultante de forças que sobre ele atuam. Representa-se por ( CM). Corpo rígido Sistema discreto de partículas Sistema dinâmico de particulas Num corpo homogéneo rígido devemos ter em conta a sua simetria. Caso seja um corpo com formas geométricas de elevada simetria, ou então, caso seja um corpo que não apresente qualquer simetria geométrica. No caso, em que o corpo não apresenta simetria, para se obter o seu centro de massa deve-se dividir o corpo em diferentes partes simétricas, considerando cada uma das partes em que foi dividido como uma partícula e aplicando a expressão que permite calcular a posição do centro de massa, (rcm), para um sistema discreto de partículas. Corpo rígido homogéneo e com simetria: Para um corpo com estas características devemos ter em conta um ponto, eixo ou plano de modo a identificar o centro de massa massa nesse objeto, que se encontra por regra de acordo com a simetria adaptada segundo o centro geométrico do corpo. Considerado um sistema de (N) partículas de massa (M), como está representado na figura. Para calcular o centro de massa do sistema de partículas em que há reduzida simetria aplica-se a seguinte fórmula: Fig.1- Sistema discreto de partículas Podemos ver que este método analítico, trata-se de uma média ponderada para chegar à posição do centro de massa. A expressão pode ser traduzida pelas componentes cartesianas, Xcm, Ycm e/ou Zcm do vetor posição do centro de massa: = = = = Posição do centro de massa da partícula entre duas partículas: Duas partículas de massas m1 e m2, com posições X1 e X2, num referencial Ox. = Fig. 4-Duas partículas de massas e posições diferentes, num referencial Ox. Fig.2 – Centro de massa de diferentes corpos Fig.3 – Placa homogénea e de espessura constante dividida em três partes com simetria Se a massa da partícula 1 for superior à massa da particula 2 : ( m1 > m2), o centro de massa do sistema encontra-se mais próximo do m1. Quanto maior for a massa da partícula, mais o centro de massa se aproxima dela, ou seja, o centro de massa aproxima-se da particula com maior massa. Se as duas partículas tiverem igual massa: ( m1 = m2 ), o centro de massa encontra-se equidistante das duas partículas, ou seja, corresponde ao ponto médio do segmento que une as duas partículas. Se a origem do referencial coincidir com m1, é
Xcm = (m2.X2)/(m1+m2 ) e se a origem do referencial coincidir m2, é Xcm = (m1.X1)/(m1+m2 ). Após conhecido o vetor do centro de massa, em função do tempo, é possível determinar o seu vetor velocidade e aceleração. Tanto a velocidade como a aceleração também representam uma média ponderada pelas massas das particulas constituintes do sistema. Assim para um vetor velocidade obtemos:

(=)
(=)




Cada componente cartesiana da velocidade do centro de massa Vxcm , Vycm, Vzcm, sendo representadas num referencial Oxyz , da seguinte forma:  cm= cm= .  .  Cm= . (=) Vxcm = x Vxcm = . Vycm = y (=) Vycm =  . Z (=) Vzcm = Vzcm = . A aceleração do centro massa, pode ser deduzida através da derivação do vetor posição:
(=) cm = . cm = . (=) cm = . Tal como a velocidade a aceleração do centro de massa também se divide em componentes cartesianas, Axcm, Aycm, Azcm, sendo representadas num referencial Oxyz, da seguinte forma: Axcm = m x (=) Axm = . Aycm = m y (=) Aycm = . Azcm = m z (=) Azcm = . Momento linear de uma partícula e de um sistema de partículas O momento linear, (p), de uma partícula de massa m é uma grandeza física vetorial, com a mesma direção e sentido da velocidade. . A sua unidade S.I. é kg m/s . Fig.5-O Momento linear é uma grandeza física muito importante no estudo das colisões Centro de Massa e Momento linear de um Sistema de partículas Para um sistema de N partículas, o momento linear do sistema, (Ps) , é igual à soma dos momentos lineares das partículas que o constituem.
É possível escrever: . Então, o momento linear de um sistema de partículas, (Ps ), é adquirido através do produto da massa do sistema, (m), pela velocidade do centro de massa, (Vcm ), ou seja, é igual ao momento linear do centro de massa do sistema. . Lei Fundamental da Dinâmica para um sistema de partículas:
Segundo a segunda lei de Newton, a resultante das forças que atuam num corpo é igual ao produto da massa do corpo, m, pela aceleração adquirida pelo corpo.
Segundo a seguinte expressão: . Se transpormos esta definição para um sistema de partículas então temos que a resultante que das forças aplicadas em todas as partículas é a massa total do sistema e a aceleração do centro de massa, onde está concentrada toda a matéria.
Como é sabido, o valor da resultante das forças é igual à soma das forças aplicadas nesse corpo. No caso do sistema de partículas a resultante das forças é igual à soma das forças interiores e exteriores ao sistema como na expressão descrita abaixo: . . Fig. 6- Recuo de uma arma de fogo quando dispara uma bala Segunda Lei de Newton para um sistema de partículasComo foi visto anteriormente, o momento linear de uLei da Conservação do Momento Linearm sistema de partículas, P.sist, é igual ao produto da massa, (m), do sistema pela velocidade do centro de massa, Vcm.
Representado na seguinte expressão: . Derivando dessa expressão em ordem ao tempo e supondo que a massa M é constante, obtém-se: . Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas:
A resultante das forças exteriores que atuam sobre um sistema de partículas igual ao produto da massa total do sistema pela aceleração do seu centro de massa.


Ou então:

A resultante das forças exteriores que atuam sobre um sistema de partículas é igual à taxa de variação temporal do momento linear do sistema: . . Lei da Conservação do Momento Linear De acordo com a segunda Lei de Newton, se a resultante das forças exteriores for nula, a taxa de variação do momento linear é nula e o momento linear do sistema permanece constante: . Esta conclusão exprime a Lei da Conservação do Momento Linear e o sistema diz-se isolado.
Lei da conservação do Momento Linear- O momento linear de um sistema mantém-se constante se a resultante das forças exteriores que atuam for nula. . A conservação do momento linear em algumas situações do dia-a-dia: Um exemplo muito utilizado é o de dois patinadores parados numa pista de gelo, num dado momento em que se empurram mutuamente, tendo em conta que a resultante das forças exteriores é nula porque o sentido da força é contrário, então o momento linear do sistema formado por ambos os patinadores permanece nulo. . Fig.7- Dois patinadores parados numa pista de gelo que, em dado momento, se empurram * * Coeficiente de restituição Entende-se por coeficiente de restituição, a grandeza “e” que mede, de certa forma a elasticidade de uma colisão, através da razão entre a velocidade de afastamento e a velocidade de aproximação: . . Fig.. 8-Aproximação e afastamento numa colisão frontal e elástica Atendendo à variação da energia cinética na colisão, podemos classifica-las como: Colisão elástica - Quando não há perda de energia cinética numa colisão entre dois corpos A e B e quando o coeficiente de restituição for igual a 1, isto é, e = 1, visto que a velocidade de aproximação (v1i - v2f ) é igual à velocidade de afastamento (v2f - v1f ). Colisão inelástica - Existe, por sua vez, uma perda de energia cinética, onde o coeficiente de restituição se encontra entre 0 e 1, ou seja, 0 <e <1. Colisão perfeitamente inelástica - Surge quando numa colisão inelástica a energia cinética diminui o máximo possível. O coeficiente de restituição nesta situação é igual a 0, e=0. Vamos ver agora algumas Leis da Física...
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