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PRUEBA DE HUECOS O DE DISTANCIA

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Ferbs Montaño

on 9 September 2014

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Transcript of PRUEBA DE HUECOS O DE DISTANCIA

TEST DE HUECOS O DE DISTANCIA
Números pseudoaleatorios considerados como dígitos
Si los números pseudoaleatorios generados son considerados como dígitos, entonces la prueba consiste en cortar el número de dígito que aparece entre ocurrencia sucesiva de un mismo dígito. Por ejemplo 58245 ilustra un hueco de tamaño 3 entre dos cincos.
La probabilidad de cada uno de los tamaños de hueco (i= 0, 1, 2…) se obtiene con la siguiente expresión

Números pseudoaleatorios considerados como números reales
Con estas ecuaciones se obtienen las frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de hueco, considerando a los números pseudoaleatorios generados como números reales tal y como se muestra:
Números pseudoaleatorios considerados como dígitos
El cual se compara con:
Definición
Esta prueba puede ser realizada de dos maneras: considerando los números pseudocodigos generados como dígitos, o considerado como números reales.
Definición
Es usada para asegurar que la recurrencia de cada dígito particular en un flujo de números suceda con un intervalo aleatorio. Además se usa para comparar estos intervalos con la longitud esperada de huecos.

Llamaremos hueco a cualquier serie de números en la secuencia de partida, que no
Están dentro del intervalo [alfa, beta) y que están comprendidos entre dos números que si lo
Están. A la cantidad de números en ese hueco que NO pertenecen a [alfa, beta) la llamaremos Longitud del hueco.


Números pseudoaleatorios considerados como dígitos
Sin embargo como el tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de i mayores o iguales a un determinado valor n. tal sumatoria se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión
Números pseudoaleatorios considerados como números reales
Si los números pseudoaleatorios generados son considerados como números reales, entonces, para realizar esta prueba es necesario seleccionar un intervalo (alfa; beta), el cual debe de estar contenido en el intervalo (0; 1), es decir, 0<=alfa<=beta<=1. En seguida, para cada número pseudoaleatorio generado se pregunta si es o no elemento del intervalo (alfa ; beta). Si UJ (Número uniforme generado) es el elemento de (alfa ; beta), UJ+I+1 vuelve a ser elemento de (alfa ; beta) entonces se tiene un hueco de tamaño i.

Por ejemplo, si α=0.3 y β=0.5 y los números pseudoaleatorios generados son como sigue: 0.32415, 0.22257, 0.19147, 0.75103, 0.49383, entonces el hueco es de tamaño 3.

Para el caso de considerar los números pseudoaleatorios generados como números reales, la distribución de probabilidad del tamaño del hueco es como sigue:

Números pseudoaleatorios considerados como dígitos
Con estas dos ecuaciones se obtiene las frecuencias esperadas para cada tamaño de hueco. La obtención de tales frecuencias se muestra en la siguiente tabla .
Números pseudoaleatorios considerados como números reales
Donde 0= beta-alfa representa la probabilidad de caer en el intervalo (alfa; beta).

Al igual que en el inciso anterior, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de i >=n. Tal agrupación se obtiene con la siguiente expresión:

Si las frecuencias esperadas y observadas para cada tamaño de hueco son bastantes parecidas, entonces se puede decir que los números pseudoaleatorios generados pasan la prueba de la distancia. El estadístico X_0^2 que se usa en esta prueba se obtiene como:
Números pseudoaleatorios considerados como dígitos
entonces los números pseudoaleatorios pasan la prueba de la distancia. Es muy importante señalar que el valor seleccionado de n, debe ser tal que la suma de las frecuencias esperadas de todos los tamaños sea mayor que 5.
Utilizando la ecuación de X_0^2 y comparando el resultado con la ecuación de X^2α, n se toma la decisión de aceptar o rechazar la prueba de la distancia. Es muy importante señalar que el valor de alfa y beta no tiene ninguna influencia en la bondad de la prueba, y también es necesario señalar que el valor de n debe ser seleccionado de acuerdo al criterio mencionado.
Ejemplos
Ejemplo Kolmogorov – Smirnov (KS)
Basándonos en la frecuencia con que se producen los huecos, determínese si se puede suponer
que los dígitos están ordenados aleatoriamente. Sea el nivel de significancia de alfa = 0.05

2, 9, 3, 1 , 6, 3, 0, 4, 6, 3, 2, 8, 7, 0, 8, 1, 3, 1, 8, 3, 6, 0, 7, 9, 6, 1, 3, 4, 8, 6, 3, 4, 9, 1, 4, 2, 8, 1, 0,
5, 5, 9, 2, 3, 1, 4, 0, 5, 8, 8, 9, 8, 3, 9, 9, 3, 3, 5, 9, 1, 1, 5, 3, 6, 8, 4, 7, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 6, 0, 5, 7, 3,
1, 5, 9, 5, 4, 0, 1, 4, 6, 0, 0, 5, 4, 6, 2, 4, 8, 4, 2, 0, 5, 4, 4, 1, 0, 2, 0, 5, 4, 1, 3, 7, 5, 3, 3, 1, 6, 7, 1,
0, 2, 9, 6, 7, 0, 1, 7.

El número de huecos registrados será la cantidad de números analizados menos el número de números aleatorios generados (en este caso son 10, puesto que cada dígito se debe presentar, por lo menos, una última vez).

Total de huecos (T) = N – 10 donde N es el tamaño de la muestra

(T ) = 125 – 10 = 11 5.
Ejemplo Kolmogorov – Smirnov (KS)
Después se verifica cual fue la mayor longitud del hueco, y dependiendo de ésta usted elegirá
cuantos intervalos requiere. Por ejemplo: si tiene una longitud de hueco igual a 49 y desea 10
intervalos entonces el primer intervalo será de 0 – 4, el segundo de 5 – 9, el tercero de 10 – 14,
etc. Si quisiera solo 5 intervalos entonces quedará el primero de 0 – 9, el segundo de 10 – 19, el
tercero de 20 – 29, el cuarto de 30 – 39 y el quinto de 40 – 49. Para el ejemplo se tiene que la
mayor longitud de hueco es de 50 y se dividió en 17 intervalos.

Enseguida se analizan cada uno de los números aleatorios generados para determinar su longitud
de hueco y obtener la frecuencia en los intervalos generados. Por ejemplo: si tomamos el número aleatorio siete (7) su primera longitud de hueco es de 9; y caerá en el intervalo 9 – 11, entonces ese intervalo tendrá su primera frecuencia. Si el mismo número aleatorio u otro número cayeran en ese mismo intervalo entonces se sumaria la segunda frecuencia para este intervalo; y así sucesivamente para todos los intervalos. La suma de las frecuencias de todos los intervalos (en este ejemplo son 17) es igual a el total de huecos (T = 115) .
Paso 1.
Especifique la fdp para la distribución de frecuencia teórica dada por la ecuación basado en el ancho del intervalo de clase seleccionado.

Paso 2.
Arregle los huecos observados en una distribución acumulada con esas mismas clases.

Paso 3.
Encuentre D, La máxima desviación entre F(x) y Sn(x) como en la ecuación
Paso 4.
Determine el valor crítico D􀄮 , de la tabla de Kolmogorov–Smirnov para el valor específico alfa y el tamaño de muestra N.

Paso 5.
Si el valor calculado de D es mayor que el valor tabulado de D􀄮 la hipótesis nula de independencia es rechazada.


El valor exacto de 􀄮 puede ser encontrado usando la metodología descrita por Conmover [1980].
Resumimos la prueba en la tabla siguiente:
Para determinar la frecuencia acumulativa relativa se basa en la fórmula:
Para determinar la frecuencia acumulativa relativa se basa en la fórmula:
Posteriormente se obtiene la diferencia máxima absoluta entre las dos frecuencias acumulativas D * = 0.082. Esta diferencia se compara con la diferencia de confiabilidad. La diferencia de confiabilidad esta dada por la siguiente fórmula:
Donde el nivel de confiabilidad es igual a 1 – nivel de significancia (1-.95)=0.05. Valor de la tabla con alfa 0.05 y N>35 (tamaño muestral 125) = 1.36
Puesto que D * (0.082) < D 0.95 (0.127); rechazamos la hipótesis de que los dígitos están
ordenados aleatoriamente.
Presentado Por:

Silvia Salcedo
Yeimi Murillo
Yessenia Arrieta
Maria Jose Hoyos
Fernando Montaño
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