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Exponentialfunktion und Logarithmus

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by

F. A.

on 17 February 2015

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Transcript of Exponentialfunktion und Logarithmus

Exponentialfunktion
f(x) = b*a
x
Basis
Exponent
1
2
3
f(x) = e
x
f(x) = 5
x
Exponentialfunktionen
Was ist eigentlich eine Exponentialfunktion?
Punkt:
P(0/1)
f(x) = a
x
= 1
Jede Zahl hoch 0 ist 1!!!
Annäherung asymptotisch an die x-Achse
Warum ?
f(x) = 2
f(-1) =
f(-5) =
2
-1
x
=
1
2
1
32
= 0,03125
= 0,5
Mathe - LK Stufe 12
!
e = 6
x
?
Logarithmus
Was ist der Logarithmus?
log (10 ) =
log (7 ) =
log (e ) =
x
x
x
10
7
e
x
x
x
oder kurz:
ln(e ) = x
x
"e und ln lösen sich auf"
e
ln(b)
=b
f(x) =ln(x)
f(x) = e
x
ln(1) = 0
ln(e) = 1
!
Exponentialfunktion und Logarithmus
Exponentialfunktion/gleichung

Logarithmus
Gesetze

Wachstum Zerfall
Wie löst man nach x auf?
Was ist eigentlich die natürliche Exponentialfunktion?
Wachstum und Zerfall
Eponentialgleichung
Ableitungsregeln
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel
Für eine Funktion f mit f(x)=x^c gilt r <e> IR gilt f1(x)=cx^c-1
Bsp.: f(x)=x^3 f^(x)=3x^2
Für die Funktion f=c*g mit f(x)=c*g(x) mit c <e>IR gilt: f´(x)=c*g´(x)
Bsp.: f(x)=7x^3
f ´(x)= 7*3x^2=21x^2
Die Funktion f=u+v mit f(x)=u(x)+v(x) heißt Summe von u und v
f´(x)=u´(x)+v´(x)
f(x)=x^3+e
u(x)=x^3 ; u´(x)=3x^2
v(x)=e^x ; v´(x)= e^x
f´(x)=3x^2+e^x
Ist f(x)=u(v(x)) eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen u und v, so ist auch f differenzierbar und es gilt:
f´(x)=u´(v(x))*v´(x)

Die Funktion f=u*v mit f(x)=u(x)*v(x) heißt Produkt von u und v.
f´(x)u´(x)*v(x)+u(x)*v´(x)
f(x)=(1-x^2)*e^x
u(x)=1-x^2 ; u´(x)=-2x
v(x)=e^x ; v´(x)=e^x
f´(x)=(1-x)^2*e^x+(-2x)*e^x=(-x^2-2x+1)*e^x
Die Funktion f=u/v mit f(x)=U(x)/v(x) heißt Quotient von u und v.
f´(x)=u´(x)*v(x)-u(x)*v´(x)/v^2(x)
Bsp.: f(x)=3x/2-x^2
u(x)=3x ; u´(x)=3
v(x)=2-x^2 ; v´(x)=-2x
f´(x)=3(2-x^2)-3x(-2x)/(2-x^2)^2
= 6+3x^2/(2-x^2)^2
Allgemeines
Exponential- und Logarithmusfunktionen bilden die Grundlage zur Beschreibung von exponentiellen Wachstums- und Zerfallsprozessen (Bsp.: Radioaktivität).
Damit sind Exponentialfunktionen - besonders die e-Funktionen - sehr bedeutsam bei der mathematischen Modellierung von in der Natur ablaufenden Prozessen.
Die einzelnen mathematischen Bestandteile werden im Folgenden näher charakterisiert:
Anfangswert
Graph der
natürlichen Exponentialfunktion
Logarithmus
Exponentialgleichung und natürlicher Logarithmus
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit !
by Dren Alaj und Selim Furgan Arslan
e = Euler'sche Zahl
lim
n
8
(1 + )
1
n
n
= 2,71828...
e = 2,7
n
eine expfkt kann auch eine andere basis haben
die definition von e ist
der grenzwert von
die annährung ist
umso besser je größer
n ist. für n=1000 hat
man 2,7
je weiter man nach
links geht desto kleiner
werden die y-werte
jedoch werden sie nie 0
logarithmus von ...
zur basis ...
log von
einer - zahl
existiert nicht
eine fkt ist umkehrbar
wenn man jedem y wert aus
der wertemenge genau ein x aus
der definitionsmenge zuordnen kann
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