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Trabajo de Factorización

31 de Octubre 2012
by

Javier Soto García

on 31 October 2012

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Transcript of Trabajo de Factorización

¿Qué es Factorizar? Es descomponer una expresión matemática, ya sea un número, una suma, un polinomio, etc., en forma de multiplicación, para ello existen diversas técnicas, que podremos ver en el desarrollo de este trabajo. Finalmente, el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en término de “bloques fundamentales” que reciben el nombre de factores. Cada vez que se tenga un polinomio se puede transformar en producto mediante una factorización, si este no es posible de factorizar, Se dice que el polinomio es PRIMO Existen muchas formas de factorizar, explicaré nueve casos Trabajo de Factorización Caso 2: Caso 1: Se debe obtener el Máximo Común Divisor (M.C.D) entre los coeficientes numéricos
(números) y en el factor literal siempre queda como factor común la potencia de igual
base con el menor exponente. Ejemplo:
15 a b + 20 a z = 5 a (3 a b +4 z) 15 a b + 20 a z (El M.C.D entre 15 y 20 es 5, y la potencia de igual base es a, cuyo
menor exponente es 2)
Por lo tanto, queda como resultado: 5 a (3 a b +4 z). Sacar mayor factor común Sacar factor común polinomio Consiste en sacar factor común de dos o más términos. Ejemplo:
3 (x+y) + p (x+y) = (x+y) + (3+p) 3 (x+y) + p (x+y) (En ambos términos está presente “(x+y)”, por lo que ese vendría siendo el factor común en este caso).
Como “(x+y)” multiplica a 3 y a p, es decir, es un factor común, el resultado de esta factorización es: (x+y) + (3+p) Caso 3: Factorizar por agrupación Se debe observar cada término del polinomio y agrupar los que tienen algo en común,
factorizarlos utilizando factor común y luego ocupar el caso 2, sacando factor común
polinomio. Ejemplo: 8x + 8y + ax + ay

8(x+y) + a(x+y)

(x+y) (8+a) Caso 4: Factorizar diferencias de cuadrados Esta factorización es la opuesta al producto notable “suma por diferencia”: (a+b) (a-b) = a
– ab + ab –b , donde se simplifican “-ab” y “ab” y queda: (a+b) (a-b)= a2 – b2.
Factorizar diferencia de cuadrados es, entonces: a2 – b2= (a+b) (a-b), es decir, la raíz
cuadrada del primer término más la raíz cuadrada del segundo término, todo eso
multiplicado a la raíz cuadrada del primer término menos la raíz cuadrada del segundo
término. Ejemplo: 25 – x6 La raíz cuadrada de 25 es 5, y la de x6 es x3. Entonces, el resultado es 5 más x3 todo
multiplicado por 5 menos x3.
• Entonces 25 – x6 = (5 + x3) (5 – x3) Caso 5:
Es el proceso inverso del producto notable cuadrado del binomio, que es:
• (a+b) = a +2ab +b
• (a-b) = a -2ab +b

Por lo tanto, si se tiene un trinomio cuadrado que corresponde al desarrollo de un
cuadrado perfecto, se factoriza como un cuadrado del binomio.

• x +2xy +y = (x+y) . Lo que sucede en este caso es que la factorización es la raíz
cuadrada del primer término, más la del tercero, todo eso al cuadrado, pero
también tiene que cumplirse que la multiplicación de las raíces cuadradas
del primer y el tercer término, multiplicadas por dos, den como resultado el
segundo término del trinomio.

• x - 2xy +y = (x-y) . Algo similar es lo que ocurre aquí, sólo que, al ser negativo
el segundo término del trinomio, la raíz cuadrada del primer término, o bien,
la del segundo, debe ser también negativa. Factorizar trinomios que son Trinomios Cuadrados Perfectos Ejemplos: 1.

25 +10x + x = (5+x) . El resultado de esta factorización sería la raíz cuadrada del primer término, 25
en este caso, más la raíz del tercero, que es x, todo eso elevado al cuadrado, siempre y cuando la raíz cuadrada del primer término por la del tercero,
multiplicadas por dos, de como resultado el segundo término del trinomio
(10).

25 +10x + x = (5+x) . 5 es la raíz cuadrada de 25, x la de x , y 5 por “x” por 2, es igual a 10x. 2 3 2 2 3 3 2 2 2 Esta factorización es la opuesta al producto notable “suma por diferencia”: (a+b) (a-b) = a – ab + ab –b , donde se simplifican “-ab” y “ab” y queda: (a+b) (a-b)= a – b .
Factorizar diferencia de cuadrados es, entonces:
a – b = (a+b) (a-b), es decir, la raíz cuadrada del primer término más la raíz cuadrada del segundo término, todo eso multiplicado a la raíz cuadrada del primer término menos la raíz cuadrada del segundo término. 2 2 2 2 Ejemplo: 25 - x 6 •La raíz cuadrada de 25 es 5, y la de x es x . Entonces, el resultado es 5 más x todo multiplicado por 5 menos x .
• Es decir, 25 – x = (5 +x ) (5 – x ) 6 3 3 3 3 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.
•a – 8 a +16= (a-4) . Ocurre lo mismo que en el caso anterior sólo que la raíz cuadrada del primer término, o bien, la del tercero, debe ser negativa, al ser negativo el segundo término del polinomio.
Entonces a – 8 a +16 = (a-4) . A es la raíz cuadrada de a , 4 la de 16, y 4 por “a” por 2 es igual a 8 a. 2 2 2 Caso 6: Factorizar trinomios de la forma “x +bx+c” 2 Esta factorización está relacionada con el producto notable de dos binomios con un término en común, un trinomio que es el cuadrado del primer término, el cuadrado del término común, más el producto entre la suma de los términos no comunes y el término común, más el producto de los términos no comunes. Por ejemplo: (x+1)(x+3)= x + 4x + 3. Porque (x+1)(x+3)= x +3x+x+3, y las “x” se suman.

Por lo tanto, esta factorización es el proceso contrario a la del producto notable antedicho. En forma general, para obtener “x +bx+c”, se debe encontrar dos números que sumados den “b” y que multiplicados den “c”. 2 2 2 Ejemplo:
x + 5x +6
En este caso, 2 y 3 sumados da como resultado 5, y si se los multiplica entre sí, da 6.
Entonces: x + 5x +6= (x+2)(x+3) 2 2 Caso 7: Factorizar trinomios de la forma “ax +bx+c” 2 Para resolver este tipo de factorización se debe buscar una pareja de números que multiplicados den “a” por “c”, y que sumados den “b”.
Una vez encontrada la pareja de números se descompone en dos sumandos la expresión “bx”, ocupamos los casos 2 (sacar factor común polinomio) y 3 (factorizar por agrupación) de factorización. Ejemplo:
o 4x +8x+3= (2x+1)(2x+3)
o 4 por 3 (a ●c) es igual a 12. Se deben obtener las parejas de números que multiplicadas den ese resultado, es decir, en este caso:
 12 ●1
 -12 ● -1
 6 ●2
 -6 ●-1
 4● 3
 -4● -3 Caso 8: Caso 9: o Se selecciona de aquellas parejas, los números que sumados den “b”, es decir, en esta situación, 8. 6+2= 8, por lo tanto, los números escogidos serán 6 y 2.
o Se descompone en sumandos, y entonces la expresión 4x+ 8x+3 queda igual a 4x +6x+2x+3.
o Se utiliza el caso 3: 4x +6x+2x+3

2x(2x+3) + (2x+3)
o Y luego el caso 2: (2x+3) (2x+1). El término que se repite es “(2x+3)”, y se multiplica por la suma de lo que no es común, es decir, en el primer término 2x, y en el segundo, al no haber ningún número o factor literal, se deduce que es 1. 2 2 2 Factorizar suma de cubos Esta factorización es contraria al producto notable suma de cubos: (x+y)(x -xy+y )=x +y . Donde el binomio se está sumando, el trinomio se relaciona con el binomio, y debe estar el cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término menos el producto entre los dos términos. Esto se debe a que (x+y)(x -xy+y )=x -x y+xy +x y-xy +y , donde se simplifican los términos semejantes y queda x +y .
La factorización de una suma de cubos es el proceso inverso al recién dicho, es decir: a +b =(a+b) (a -ab+b ). 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 Ejemplo:
•64+x = (4+x)(16-4x+x ) 3 2 •La raíz cúbica de 64 es 4, y por lo tanto, ese será el primer término que irá dentro del primer paréntesis, y la raíz cúbica de x , es x, por lo que será el otro, que estará sumándose al primero. 3 En el segundo paréntesis deberá ir el cuadrado de las raíces cúbicas sacadas menos el producto de ellas, es decir, 4 -4 x+x = 16-4x+x . 2 2 2 Factorizar diferencias de cubos Esta factorización consiste en el proceso opuesto a la diferencia de cubos:
(x-y)(x +xy+y )= x +x y+xy -x y-xy -y .
Donde se simplifican los términos semejantes y queda
(x-y)(x +xy+y )= x -y .
Entonces, el proceso inverso, es decir, factorizar diferencias de cubos es: a -b = (a-b)(a +ab+b ). En el primer paréntesis debe ir la raíz cúbica del primer y segundo término restándose, y en el segundo, el cuadrado de la raíz cúbica del primer término, más la raíz cúbica al cuadrado del segundo término, más ambas raíces multiplicándose. 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 Ejemplo:
8-x = (2-x)(4+2x+x ) 3 2 •La raíz cúbica de 8, es 2, y la de x , x, por lo que esos términos irán restándose dentro del primer paréntesis.
•Y en el segundo paréntesis, la raíz cúbica de 8, 2, al cuadrado, más la raíz cúbica de x , x, más ambas raíces multiplicándose: 2 x= 2x. 3 3 Bibliografía “Factorización” es.wikipedia.org. Recuperado 27 de octubre de 2012. Disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
Cuaderno de Matemáticas I° Medio 2012. Profesora: Estela Muñoz Vilches 2 2 2 Javier Soto I°B
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