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cinetica de cuerpos rigidos

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by

israel castro

on 25 June 2014

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Transcript of cinetica de cuerpos rigidos

Traslación

Un cuerpo rígido lleva movimiento de Traslación cuando todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posición inicial a lo largo del movimiento.
Durante la Traslación, no hay movimiento angular (ω = α = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleración lineal a.
La Traslación sólo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su centro de masa G.
 
 

 
Este sistema de ecuaciones relaciona los momentos de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo rígido con las velocidades angulares y las propiedades inerciales del cuerpo
En la mayoría de los problemas de Dinámica referentes al movimiento plano, se pueden simplificar las ecuaciones anteriores.
Las ecuaciones muestran que pueden ser necesarios los momentos Max y May para mantener el movimiento plano en torno al eje z.
Los momentos de las fuerzas y los momentos y productos de inercia lo son respecto a los ejes xyz que pasan por el punto A y están fijos en el cuerpo. Si no estuvieran fijos en el cuerpo, los momentos y productos de inercia serían funciones del tiempo.

(2) Diagramas. El diagrama para sólido libre del cuerpo analizado se dibujará siempre. Se tomará un sistema de coordenadas inercial que resulte cómodo y práctico y se rotularán todas las cantidades conocidas y desconocidas. El diagrama cinético debe asimismo dibujarse para clasificar la equivalencia entre las fuerzas aplicadas y la consiguiente respuesta dinámica.

(3) Ecuaciones del movimiento. Al aplicar las ecuaciones del movimiento hay que ser coherente con los signos algebraicos en relación con los ejes de referencia elegidos. Se combinarán los resultados obtenidos del análisis cinemático que haya sido necesario realizar. Es preciso contar el número de incógnitas para asegurarse de que existe un número igual de ecuaciones independientes.
Para que un problema de movimiento plano de un cuerpo rígido sea resoluble, no puede haber más de cinco incógnitas escalares, que es el número que permiten las tres ecuaciones escalares del movimiento y las dos relaciones entre componentes escalares procedentes de la ecuación de la aceleración relativa.

CONSIDERACIONES A TOMAR EN CUENTA

Procedimiento de análisis. Al resolver problemas dinámicos relacionados con el movimiento plano de cuerpos rígidos, hay que seguir los pasos siguientes una vez que se tenga una idea clara de los datos y requerimientos del problema.
(1) Primero se identificará el tipo de movimiento y seguidamente se determinarán las aceleraciones lineales y angulares que pueden hallarse exclusivamente con la información cinética disponible. En el caso de movimiento plano vinculado, suele ser necesario establecer la relación entre la aceleración lineal del centro de masa y la aceleración angular del cuerpo resolviendo primero las ecuaciones adecuadas de la velocidad y la aceleración relativas.

En el caso más general en que la resultante del sistema de fuerzas exteriores consista en una fuerza resultante R que pase por el centro de masa G más un par de momento C, el cuerpo experimentará Rotación y Traslación.
Las leyes de Newton sólo son aplicables al movimiento de un punto material (traslación), no siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rígido que puede ser de traslación más rotación; así pues, se necesitarán ecuaciones adicionales para relacionar los momentos de las fuerzas exteriores con el movimiento angular del cuerpo.

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son las causas que producen aceleraciones en los cuerpos.
Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción
Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.
La tercera ley es completamente original de Newton (pues las dos primeras ya habían sido propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, este realiza una fuerza de igual intensidad y dirección, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y opuestas en dirección.

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON

También conocidas como Leyes del movimiento de Newton, son tres principios
Primera ley de Newton o Ley de la inercia
Newton expone que:
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él
Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza neta sobre él.
Segunda ley de Newton o Ley de fuerza
segunda ley del movimiento de Newton dice que
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime

La cinética de los cuerpos rígidos trata de las relaciones existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslación y rotación de dichos cuerpos. Un cuerpo rígido que ejecute un movimiento plano puede asimilarse a una placa plana delgada cuyo movimiento esté confinado al plano de la placa, el cual es además el plano del movimiento. Este plano contiene al centro de masa, y todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se proyectan sobre el mismo.

CINETICA DE CUERPOS RIGIDOS

Cuerpo rígido
Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos.
Es evidente que para cada partícula de las cuales está hecho el cuerpo, podemos aplicar las leyes para la dinámica de Sir Isaac Newton.

La derivación, esta ecuación dará el mismo resultado que la ecuación anterior, puesto que toma en cuenta las energías cinéticas tanto de traslación como de rotación del cuerpo.

TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y MOVIMIENTO PLANO CUALQUIERA DE UN CUERPO RÍGIDO

Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, según su naturaleza, en:
1.- Traslación.
2.- Rotación en torno a un eje fijo.
3.- Movimiento plano cualquiera.
Los dos primeros son casos particulares del Movimiento plano cualquiera.
Para un cuerpo de forma arbitraria, las ecuaciones de Movimiento plano cualquiera desarrolladas anteriormente vienen dadas por las ecuaciones en la forma:

ANALISIS DE LA ROTACIÓN
 
Consideremos un cuerpo rígido de forma arbitraria como el de la figura.

El sistema de coordenadas XYZ está fijo en el espacio.
 
El desplazamiento de un elemento de masa dm respecto al punto A viene dado por el vector ρ y respecto al origen O del sistema de coordenadas XYZ viene dado por el vector R.
 
El desplazamiento del punto A respecto al origen O del sistema XYZ lo da el vector r.

Ecuación que relaciona la resultante R de las fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleración del centro de masa G del sistema.

En el caso del movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación más para especificar el estado de rotación del cuerpo. Así pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitarán dos ecuaciones de fuerzas y una de momentos o sus equivalentes. Al desarrollar aún más estas ecuaciones en este y aplicarlas concretamente al movimiento plano de cuerpos rígidos
Dado que un cuerpo rígido es un conjunto de puntos materiales, podremos utilizar las relaciones desarrolladas para el movimiento de un sistema de puntos materiales.

El movimiento de todo cuerpo rígido que tenga dimensiones apreciables en dirección perpendicular al plano del movimiento pero que sea simétrico alrededor de dicho plano respecto del centro de masa, puede tratarse como un problema de movimiento plano. Es evidente que estas idealizaciones se adaptan perfectamente a una extensa categoría de movimientos de cuerpos rígidos. En el caso del movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación más para especificar el estado de rotación del cuerpo. Así pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitarán dos ecuaciones de fuerzas y una de momentos o sus equivalentes. Al desarrollar aún más estas ecuaciones en este y aplicarlas concretamente al movimiento plano de cuerpos rígidos

ENERGÍA CINÉTICA
Primero tendremos que desarrollar una forma de obtener la energía cinética del cuerpo cuando éste se somete a traslación, rotación alrededor de un eje fijo o a movimiento plano general. Para hacer esto consideraremos el cuerpo rígido que se muestra en la figura, el cual está representado aquí por una losa que se mueve en un plano de referencia x-y inercial.

Por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a

A menudo aparecen rotaciones en torno a ejes fijos que pasan por el centro de masa del cuerpo.
La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento
Y que gira en torno a un eje fijo que NO pasa por el centro de masa G del cuerpo

En este caso las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a

Donde:

Ecuaciones del movimiento plano

Se van a extender las leyes de Newton para poder cubrir el movimiento plano de un cuerpo rígido, proporcionando así ecuaciones que relacionen el movimiento acelerador lineal y angular del cuerpo con las fuerzas y momentos que lo `
Dichas ecuaciones pueden utilizarse para determinar:
1.- Las aceleraciones instantáneas ocasionadas por fuerzas y momentos conocidos
2.- Las fuerzas y momentos que se necesitan para originar un movimiento prefijado.
Como un cuerpo rígido se puede considerar como un conjunto de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias mutuas, el movimiento del centro de masa G de un cuerpo rígido vendrá dado por la ecuación:

En el caso de Traslación, con el origen del sistema en el centro de masa G del cuerpo, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a

Cuando el centro de masa G de un cuerpo siga una curva, como se observa suele ser conveniente tomar los ejes x e y en las direcciones de las componentes instantáneas normal y tangencial de la aceleración. Si se suman los momentos de las fuerzas exteriores respecto a un punto que no sea el CDM deberá modificarse la ecuación de momentos a fin de tener en cuenta los efectos de a Gx y de a Gy. Así

Si además de ser simétrico el cuerpo respecto al plano de movimiento, tomamos el origen del sistema de coordenadas xyz en el centro de masa G del cuerpo las ecuaciones anteriores se reducen a :

Casos particulares:
Cuando el cuerpo es simétrico respecto al plano de movimiento xy, los productos de inercia se anulan (IAyz = IAzx = 0) con lo que las ecuaciones anteriores se reducen a:

 
Las ecuaciones quedaran dadas por:

Que gira en torno a un eje fijo que pasa por el centro de masa G del cuerpo

ROTACIÓN EN TORNO A UN EJE FIJO
Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.
La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento

`
Una particula i esima arbitraria del cuerpo, de masa dm, se encuentra en una distancia r del punto arbitrario P. Si en el instante que se muestra la particula tiene una velocidad vi entonces la energia cinetica de la particula es:





La energia cinetica del cuerpo se determina por escritura de expresiones semejantes para cada una de la particulas del cuerpo y la integracion de los resultados, es decir:





Al realizar varias sustituciones e integraciones podemos llegar a obtener la ecuacion de la energia la cual es :
Bibliografía
Hibbeler, R. (2004). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática (10ª ed.). México: Prentice Hall. 
ISBN: 970-26-0501-6.

Beer, F. y Jonhson, R. (1997).  Mecánica vectorial para ingenieros. Estática (6ª ed.). México: McGraw-Hill. 
ISBN: 970-10-1021-3.  Capítulo 3. Cuerpos rígidos: sistemas equivalentes de fuerzas.

Hibbeler, R. (2004). Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica (10ª ed.). México: Prentice Hall. 
ISBN: 970260500-8.
Capítulo 18: Principio de Trabajo y energía

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