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Los Sistemas de Resorte-Masa y las Ecuaciones Diferenciales

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Manuel Garay

on 25 May 2016

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Manuel Garay Silva
Los Sistemas de Resorte-Masa y las Ecuaciones Diferenciales
Ley de Hooke
Establece que el alargamiento unitario de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada
Análisis del Sistema
Se le denomina sistema de control a dicho mecanismo dinámico que recibe una señal de entrada (variable de entrada) y como respuesta al interactuar con elementos internos del sistema genera una acción de salida denominada variable de salida.
Para realizar el análisis dinámico de un sistema de traslación necesitamos dividir el sistema en sus partes básicas (masa y resorte).
Introducción
En este trabajo se presenta el análisis de un sistema resorte-masa (Movimiento Armónico Simple). Si suponemos que un resorte está unido a un soporte rígido y por el otro extremo se une a una masa, y se le aplica una fuerza, la cantidad de alargamiento del resorte depende de la masa y de la fuerza aplicada. El resorte también aplicará una fuerza restauradora opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la elongación.
Cálculos
Problema
Tenemos dos sistemas masa, resorte; los cuales tienen la misma masa, lo que va a variar es el resorte. Por medio de estos sistemas pretendemos encontrar la distancia que se mueve una masa al estirarse el resorte cuando el sistema se suelta. El sistema planteado consiste en un plano horizontal sobre el cual se encuentra un resorte de forma vertical, perpendicular al plano y sujeto al extremo del resorte una masa y/o un peso W. Por medio de la imagen podemos observar que el dibujo B se encuentra en una posición de equilibrio a la del peso cuando se halla en reposo. Si se tira de él hacia abajo una cierta distancia y luego se le suelta, realizará un movimiento vibratorio. Por lo que al realizar esto podremos observar el movimiento del sistema y su relación con el tiempo. Para obtener matemáticamente estas incógnitas, debemos de basarnos en la Ley de Hooke, la Segunda Ley de Newton y por medio de estas plantear el sistema de ecuaciones que se ha ido desarrollando a través de este trabajo para llegar a un resultado satisfactorio.
Segunda ley de Newton
Objetivos
*Obtener la solución de un sistema
masa-resorte mediante las fórmulas y teorías
de la Ley de Hooke y la Segunda Ley de Newton.
*Realizar modelos que demuestren y representen los sistemas de control de tipo mecánico de traslación combinado.
*Plantear las ecuaciones diferenciales, transformadas o métodos diferenciales para resolver problemas de sistemas masa-resorte y llegar a la resolución del mismo.
Robert Hooke
Robert Hooke (1635-1703) físico británico. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, revelando su contenido un par de años más tarde.
Estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y la deformación producida. Para deformaciones que no sean muy grandes, es decir, que no superen el límite elástico, se cumple que: La fuerza que ejerce un resorte y que tiende a restituir al peso W a su posición de equilibrio es proporcional a la distancia que separa a W de su posición de equilibrio. Se puede enunciar brevemente diciendo que “la fuerza es proporcional al alargamiento o desplazamiento”.
Ley de Hooke
Sea “f” la magnitud de la fuerza de restitución y sea “x“la posición del peso W medida desde la posición de equilibrio, tomaremos el sentido positivo cuando W se encuentra debajo de su posición de equilibrio de acuerdo con la Ley de Hooke:
"f=kx"

Para determinar el sentido de la fuerza hay que recordar que el sentido positivo lo tomamos hacia abajo por tanto lo ley de Hooke toma la siguiente forma:
"f=-kx "

Cuando se cuelga el peso W del resorte este se estira una longitud “s”, de acuerdo con la Ley de Hooke la tensión del resorte es proporcional a su alargamiento, o sea, T1= ks, puesto que el resorte y el peso se encuentran en equilibrio, se deduce que:
"T1=ks=W "

Cuando se tira más del peso y se suelta, para su posición en un instante cualquiera la tensión T2 del resorte será, de acuerdo con la Ley de Hooke:
"T2=k(s+x)"

Se deduce entonces que la fuerza neta en el sentido que designamos como positivo está dada por:
"W-T2=W-ks-kx=kx "

Por lo tanto, por la Ley de Newton la ecuación de movimiento es:
"W/g*(d^2x)/dt^2=-kx"

Para formular la ecuación diferencial de movimiento de un sistema mecánico de este tipo, hemos utilizado una vibración amortiguada (es decir se ha despreciado la resistencia al aire) es necesario tomar en cuenta constante de amortiguación “beta”; la resistencia actúa frenando al objeto cuando este sube y baja por lo tanto al tomar en cuenta la ley de Newton y que en un principio tomamos el sentido positivo hacia abajo la ecuación diferencial seria:
Modelos
Se realizaron varios modelos para poder llegar a una mejor comprensión del problema o fenómeno planteado. Se realizó un modelo físico con el cual pudimos comprobar la ley de Hooke, la segunda ley de Newton y las ecuaciones aplicadas a estos problemas. Consecuentemente se realizó una animación que representa nuestro problema, con esta animación se puede cambiar la constante k y/o la masa y al iniciar la animación, se correrá el tiempo y observará el fenómeno a resolver dependiendo de los valores que se le hayan dado. Y finalmente se realizará una presentación con los datos teóricos contenidos en este documento y los experimentales junto con los modelos realizados.
Modelo Físico
Modelo Digital
Conclusiones
Por medio de los conocimientos adquiridos en clase, la ley de Hooke, la resolución de ecuaciones diferenciales, la transformada de Laplace, la segunda ley de Newton y diversos más conceptos; se logró obtener la solución de un sistema mecánico de traslación combinado masa-resorte y los modelos que lo representen. Se formularon ecuaciones diferenciales a partir de un modelo físico de un sistema masa resorte, por lo que se obtuvo una comparación del resultado teórico al experimental y una solución precisa del sistema planteado.

Los conceptos aprendidos en la clase, fueron aplicados en la resolución del problema, por lo que se reafirmo lo aprendido en la clase, se vio la aplicación de los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales para llegar a un resultado exacto y se pudo apreciar los conceptos de manera teórica (matemática) y física, lo cual dejó más claro el problema presentado. Los resultados obtenidos fueron muy satisfactorios, bastante exactos y cercanos a los deseados, al eliminar factores como la resistencia al aire, hacen que los resultados no sean completamente exactos, sin embargo, se cumplieron los objetivos y se llegó a una muy buena aproximación.
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