Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Egyenletek

Egy prezentáció az egyenletekről
by

Marty Frits

on 16 March 2015

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Egyenletek

Egyenletek
Az egyenlet definíciója
Két, egyenlőségjellel összekapcsolt kifejezés, melyeket az egyenlet jobb és bal oldalának nevezünk.
Az egyenletek használatának két fajtája:
Amikor a megoldáson van a hangúly:
Egy elméleti vagy gyakorlati problémában számszerű összefüggések vannak a mennyiségeket leíró változók között, és konkrét értéket kell találnunk megoldásként. (Például meg kell mondani, mennyibe kerül 5 m^2 falfelület lefestése.)
Struktúrák
Ha nem határozzuk meg az egyenlet
struktúrá
ját (halmazrendszer - alaphalmaz + függvények + műveletek halmazai), akkor az egyenletet a
valós
(minden szám ide tartozik, kivéve a komplex számok) vagy a
komplex
(amiben van a négyzetgyök -1) struktúrában értelmezzük.
Az ismeretlenek előtt álló állandó szorzókat gyakran az egyenlet
együttható
inak nevezzük (pl.:
3
x).
A kifejezések tartalmazhatnak
ismeretlen
eket

(változókat/határozatlan mennyiégeket). (Pl.:
a
,
b
,
x
,
y
, stb.)
Amikor az egyenlet fontosabb, mint a megoldás:
Inkább elméleti probléma, valamilyen struktúra általános, mennyiségi jellegű leírása a cél (például geometriai alakzatok egyenlettel való leírásakor). Néha a megoldás maga az egyenlet lehet (például: parabola - adott megoldásokhoz kell egyenletet keresni).
Ugyanakkor más struktúrákban is értelmezhető az egyenlet. Az egyenlet értelmezése és megoldása függ az illető alaphalmaztól, melyben értelmezve van.
Egy egyenletnek csak adott struktúrán belül van jelentése.
Példa: 4x=2
ha a természetes számokon értelmezzük: Ø megoldás
ha a racionális számokon értelmezzük: x= ½
A megoldás avagy gyök, és a hozzá vezető út
Definíció
:

az ismeretlen(ek) mindazon értékeinek meghatározása, amelyeket behelyettesítve az egyenletbe, annak két oldala egyenlővé válik.
Nem minden egyenlet tartalmaz ismeretlent.
Pl.: 3(x+2) = 3x+6
3x+6 = 3x+6 /-6
3x = 3x /-3x
0 = 0
„nullismeretlenes" egyenlet (nem szokták használni ezt a kifejezést)
}
mérlegelv
Az ekvivalens átalakítások csökkenthetik az ismeretlenek számát
Zárójel felbontása
Az egyenletek osztályozása
Egyismeretlenes egyenlet
Az ismeretlenek száma szerint
Kétismeretlenes egyenlet
Többismeretlenes egyenlet
Az alaphalmaz szerint
Ezt adjuk meg az egyenletnek, majd ebben keressük a megoldásokat. Végetelen sok lehet, de van néhány fontosabb:
diophantoszi egyenletek:
egész együtthatós egyenletek, melyek megoldásai egész számok.
komplex egyenletek:
együtthatóik és megoldásaik komplex számok.
függvényegyenletek:
függvényváltozókat tartalmaznak, vagyis megoldásaik függvények.
mátrixegyenletek:
az együtthatók és a megoldások mátrixok.
A megoldhatóság szerint
azonosság:
az egyenletnek az alaphalmaz minden eleme megoldása.
ellentmondás:
az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása az alaphalmazon.
megoldható:
az egyenletnek van legalább egy megoldása.
A műveletekkel való kifejezhetősége szerint
algebrai egyenlet:
kifejezhető egy adott struktúra nyelvén (csak „alapműveleteket” tartalmazó, algebrai kifejezésekkel).
transzcendens egyenlet:
nem

kifejezhető egy adott struktúra nyelvén.
lineáris
vagy
elsőfokú egyenlet
: L1(x)+c1=L2(x)+c2 alakú egyenlet, ahol L1 és L2 lineáris operátor (lineáris leképezés) c1 és c2 konstans, x pedig ismeretlen. Pl.:
másodfokú egyenlet:
olyan egyenlet, amely ekvivalens átalakításokkal olyan alakra hozható, melynek egyik oldalán a változó (x) legmagasabb hatványa a négyzet, a másik oldalán pedig nulla van. Így néz ki: ax^2+bx+c=0
harmadfokú egyenlet:
olyan egyenlet, amelynek egyik oldala ekvivalens átalakításokkal nullává tehető úgy, hogy a másik oldalán a változó (x) legmagasabb hatványa a köb legyen.
absztolútértékes egyenlet
exponenciális egyenlet
trigonometrikus egyenlet
Megoldási eljárások
Az egyes egyenletek megoldási módszerei egyenlettípustól függően nagyon különbözhetnek. Némely egyenletet nem is lehet megoldani...
Nevezetes megoldhatatlan geometriai problémák egyenletei:
körnégyszögesítés:
adott kör területével egyenlő területű négyzet szerkesztése.
kockakettőzés/déloszi probléma:
egy olyan kocka élének megszerkesztése, amelynek térfogata kétszerese egy adott kocka térfogatának. (Ez a probélma az ókori görögöktől származik.)
a Nagy Fermat-tételben szereplő egyenlet:
Az
a^n + b^n = c^n
egyenletnek nincs megoldása 2-nél nagyobb egész n esetén a nemnulla egész számok körében. Pierre de Fermat találta ki ezt a tételt. (Ő)
Megoldással kapcsoltaos definíciók
mérlegelv:
az egyenlet mindkét oldalát úgy változtatjuk meg, hogy az egyenlőség igaz maradjon, mint ahogy a kétkarú mérleg serpenyőjében a súlyokat is úgy választjuk ki, hogy a mérleg egyensúlyban maradjon.
megoldóképlet:
az n-edfokú algebrai egyenlet megoldásait (gyökeit) szolgáltató algoritmus, mely véges sok lépésben véget érő és csak az algebrai műveleteket (a négy alapműveletet és a gyökvonást) használja.
közelítő megoldás:
akkor használjuk, ha a megoldást valamilyen okból kifolyólag nem tudjuk pontosan megadni.
Az egyenletek története
2x+10
=
-x-1
Az ókori keleti népeknél (már az egyiptomiaknál is) szöveges feladatok formájában voltak jelen az egyenletek.
A római korban Diophantosz pre-algebrai nyelvet készített (ebben szórövidítések szerepeltek). A negatív számokat nem fogadta el megoldásként.
A hindu Brahmagupta elfogadta a negatív számokat, adósság-vagyon formájában. Ennek segítségével nagy lépést tett a másodfokú egyenletek felírásában és megoldásában.
Európában Fibonacci újra bevezette a negatív számokat a 13. században.
Két évszázaddal később Regiomontanus a gyökmennyiségeket vezette be, ami az irracionális számok és kifejezések diadala volt.
L. Pacioli és N. Chuguet visszatértek a szinkopált algebrai nyelvhez.
Olaszországban eljutottak a harmadfokú egyenlet megoldásáig, megkezdve a komplex számok fogalmának elterjedését.
R. Descartes a koordinátarendszer és az analitikus geometria elterjesztésével megteremtette a kapcsolatot az alakzatok és az egyenletek között (17. század).
E. Galois és N. H. Abel jelentős eredményeket értek el a magasabbfokú algebrai egyenletek gyökkifejezésekkel való megoldhatatlanságáról.
sin (x)
=
cos (x
)

Leonardo Fibonacci
René Descartes
2^x
=
16
|x|
=
3
A legkorábbi ismert egyenlet, melyet az európai kultúrkörben írtak fel, Robert Recorde 1557-es
The Whetstone of Witte
című értekezéséből való. Mai számokkal leírva így néz ki: 14x + 15 = 71.
Ez pedig az eredeti:
Full transcript