Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Uvod u matematičku analizu

No description
by

Iva Bačić

on 9 April 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Uvod u matematičku analizu

iva.bacic@gmail.com
Uvod u matematičku analizu
FUNKCIJE
ALGEBARSKE
FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNA
I LOGARITAMSK
FUNKCIJA
TRIGNOMETRIJSKE
FUNKCIJE

Imaju "ulaz" i "izlaz"
Imaju pravilo po kom pridružuju/preslikavaju funkcije iz ulaznog skupa (domena) u izlazni skup (kodomen)
ulaz x
funkcija f
izlaz f(x)
Primeri:
f(x) = x
f(x) = 3x+2
f(x) = 1
Šta je funkcija?
Šta neko pravilo pridruživanja mora ispuniti da bi bilo funkcija?
postoje mnogo zanimljivije funkcije!
1. Slika mora biti jedinstvena
2. Svaki original mora imati svoju sliku
Jeste funkcija
Nije funkcija
dakle, g(f(3))=10;
s druge strane, f(g(3))=16 !
Kompozicija dve funkcije; "funkcija funkcije"
Oznaka: g(f(x)) = (g o f)(x)
Složene funkcije
Predstavljanje funkcija
Tabelarno
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
y | -8 | -1 | 0 | 1 | 8
Primer:
Grafički
na apscisi je x, na aplikati y=f(x)
(samo konačno mnogo elemenata!)
Višeparametarske funkcije
Primer "iz života": cena letovanja.
broj članova porodice
trajanje letovanja
kvalitet smeštaja
vrsta prevoza
destinacija
...
Primer iz fizike:
Inverzna funkcija
Kako naći x ako znamo koliko je y=f(x)?
funkcija
inverzna funkcija
Primer:
Kako to, u stvari, izgleda?
test vertikalne linije:
da li je slika jedinstvena?
grafik je zarotiran!
Ima li svaka funkcija inverznu?
Plava funkcija PADA test vertikalne linije!
Preciznije:
Da bi funkcija imala inverznu, ona mora biti:
1. "1-1" - svaki original da ima različitu sliku
2. "na" - svaki element kodomena ima original
Ovakve funkcije zovu se bijekcije.
Rešenje prethodnog problema: redukovanje domena
Poenta?!

Fizički zakoni se definišu funkcijama.






KAD GOD jedna promenljiva zavisi od neke druge promenljive, to se može zapisati preko funkcija!!!
Elementarne funkcije:
1. algebarske
2. eksponencijalne
3. logaritamske
4. trigonometrijske
i sve što može nastati njihovim kombinovanjem osnovnim računskim operacijama (+, -, ×, ÷).
Rešavanje nekih problema se svodi na
- nalaženje inverzne funkcije
- rešavanje jednačina oblika f(x, y, z...)=0
- pronalaženje funkcije koja povezuje neke skupove podataka
Polinomi
stepen polinoma: najveći stepen promenljive x
parnost i neparnost
koreni polinoma: rešenja jednačine P(x)=0, ima ih n
Primer:
Racionalne funkcije
P(x), Q(x) - polinomi
Q(X)R(X) - P(X) = 0
=> racionalne funkcije su takođe polinomi!
Domen racionalne funkcije?
Iracionalne funkcije
Sadrže koren(ove) proizvoljnog reda:
Nekad se mogu "racionalizovati":
Domen?
Kvadratna jednaična
Rešenja:
Vietove formule:
menja se
fiksirano
a= 1, b=0 a=1, c=0 b=c=0
presek sa x-osom tj.
f(x) = 0 :

x = 2
x = -1
Limes (funkcije)
Postoje izrazi koji se ne mogu izračunati tačno, ali se može odrediti čemu teže.

Na primer, koliko je za x=1?

0/0 ?
Probajmo ovo:
x 0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999
f(x) 1.5 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999
Dakle, f(x) TEŽI dvojci kad x TEŽI jedinici:
Računanje izbegavanjem neodređenosti (kao što je 0/0):
Limes (niza)
Niz: funkcija koja iz N slika u neki proizvoljan skup S.
Oznaka:


Na primer, članovi niza su:
Vidi se da za veliko n ovo teži nuli (ali je za konačne brojeve ne dostiže):
Konvergencija i divergencija niza
Eksponencijalna funkcija
Logaritamska funkcija
Inverzna eksponencijalnoj.
Uopštenja
Uopštenje eksponencijalne:


Njoj inverzna:

Promena osnove logaritma:
(ponekad u literaturi)
Uvod
uopštenje za uglove veći od 90 stepeni
cos je projekcija na x-osu
sin je projekcija na y-osu
Sinusna teorema
dokaz
Kosinusna teorema
uopštenje Pitagorine teoreme
dokaz
Inverzne trigonometrijske funkcije
trig funkcije su periodične - nisu "1-1"
domen se redukuje:
sin(x) je "1-1" na [-90, 90]
cos(x) je "1-1" na [0, 180]
tg(x) je "1-1" na (-90, 90)
arcsin(x)
arccos(x)

arctg(x)
Funkcije koje nisu elementarne
Primeri:
ceo deo
funkcija inverzna ovoj:
"error" funkcija

Nisu analitički rešive
Vektori
Skalar - intenzitet
Vektor - intenzitet, pravac, smer

Vektorske fizičke veličine

Koordinatni sistemi, ortovi, razlaganje po komponentama
Sabiranje i oduzimanje vektora
Skalarni proizvod
Preslikavanje dva vektora u SKALAR
Vektorski proizvod
Preslikavanje dva vektora u VEKTOR
Rezultujući vektor normalan na početne vektore, intenzitet jednak paralelogramu
Projekcije
Moment sile
Mešoviti proizvod
Pitanja?
Full transcript