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Simulaciones mediante Diferencias Finitas (v.2)

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by

Emmanuel Luján

on 6 September 2015

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Transcript of Simulaciones mediante Diferencias Finitas (v.2)

Simulaciones mediante
Diferencias Finitas

Breve Introducción a la Simulación Computacional
&
Resolución Numérica de E.D.D.P.

Análisis Numérico para Ingeniería
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Mar del Plata
Argentina
2013

Ciencia
Teoría
Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Diferencias finitas
Performance
Formulación matemática amena
Malo para dominios complejos
Elementos Finitos
Formulación matemática compleja
Bueno para dominios complejos
Volúmenes Finitos
Elementos de Control

Introducción
al Método de
Diferencias Finitas
Experimentación
Simulación
¿Por qué simular?
Tomar decisiones
Predicción
Entendimiento

Costos
Construcción de maquinaria
Trabajo con materiales costosos
Imposibilidad práctica/tecnológica
Sismos, Clima
Seguridad
Procedimiento médico
Trabajo con sustancias tóxicas
Simulación Computacional
Modelo: representación acotada de la realidad
Simulación: sistema (modelo) que se cree o espera que tenga un comportamiento muy similar al de otro sistema de tal manera que el primero puede ser estudiado para conocer el segundo
Simulación computacional: simulación que se lleva a cabo por un ordenador digital programado

Desarrollo a la par de la computación
Primer implementación a gran escala: Proyecto Manhattan en la Segunda Guerra Mundial para modelar detonaciones nucleares
¿En qué áreas se hace Simulación Computacional?
Astrofísica
Física de partículas
Ciencia de los materiales
Ingeniería
Mecánica de fluidos
Ciencia del clima
Biología evolutiva
Ecología

Economía
Teoría de la decisión
Medicina
Sociología Epidemiología
y muchos otros...

¿Quienes simulan?
Academia
Agencias de defensa y aeroespaciales
Automotor
Construcción
Bienes de consumo
Electrónica y semiconductores
Energía
Salud
Equipos y maquinaria industrial
Materiales y Procesamiento químico
Simulaciones en la industria de los materiales
Motorola
Siemens
Phillips
Xerox
Ford
Nippon Steel
Matsushita (Panasonic)
Ricoh
TDK
Hitachi
IBM
Eastman Kodak
Electricité de France
Texas Instruments
Allied Signal
Alcoa
Toyota
General Motors
Lucent
Corning
Basadas en ecuaciones
Montecarlo
Basadas en reglas lógicas
Multiescala
Tipos de Simulación
Validación
y Verificación
Validación: mi modelo ¿es correcto?¿representa el fenómeno en cuestión? ¿reproduce los valores experimentales?

Verificación: mi solución numérica para el modelo (esquema + implementación) ¿tiene errores?
Introducción al
Método de Diferencias Finitas

Ing. Emmanuel Luján | info@emmanuellujan.com.ar | www.emmanuellujan.com.ar
Laboratorio de
Sistemas Complejos
- UBA
Grupo de Ingeniería Asistida por Computadora - UNMDP
Clasificación de las E.D.D.P
Esquemas Numéricos Básicos en Diferencias Finitas
Ejemplo Caso Estacionario:
Ecuación de Laplace
Teorema de Taylor
(para una función de una variable)
Calculador online de series de Taylor:
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=f9476968629e1163bd4a3ba839d60925
Bibliografía
http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/
http://www.sciencedaily.com/articles/c/computer_simulation.htm
http://plato.stanford.edu/entries/simulations-science/
http://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-320-atomistic-computer-modeling-of-materials-sma-5107-spring-2005/lecture-notes/
http://www.ansys.com/Industries
http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/taylors_thm/
http://www.ks.uiuc.edu/Gallery/Movies/Nonprotein/
https://source.ggy.bris.ac.uk/wiki/NumMethodsPDEs
Grupo de Mecánica del Continuo -UNMDP
Diferencias Adelantadas y Atrasadas
(para Orden=1 y Cant. Var. Indep. =1)
Diferencias Centradas
(para Orden=1, Cant. Var. Indep.=1)
Ecuación de Poisson y Laplace
(Orden=2, Cant. Var. Indep=2)
Esquema en
Diferencias Finitas
Sistema de Ecuaciones
Pasos para resolver un problema de
Diferencias Finitas
Ecuación gobernante
Condiciones de Contorno
Condiciones Iniciales

Solución
Ec. de Poisson
Ec. Laplace
Veremos E.D.D.P. de segundo orden:
Muchas posibles derivaciones
Dif. Adelantadas

Dif. Atrasadas

Dif Cetradas
Orden 1

Orden 2

Orden 3
1 var. indep.

2 var. indep.

3. var. indep.
Para cada variable dependiente:
Agregado de condiciones de contorno de Dirichlet
Armado del sistema de ecuaciones
Dominio del problema

Resultados (usando más nodos)
TCBG - Universidad de Illinois-USA
NASA-USA
Armando el Sistema de Ecuaciones
Las matrices resultantes son matrices de banda (no tridiagonales).

No es conveniente utilizar métodos directos ya que los elementos fuera de las bandas se convertirán en elementos distintos de cero.

Es preferible utilizar métodos indirectos. Gauss-Seidel podría ser una buena elección, ya que las matrices resultantes son diagonalmente dominantes.
Algunos esquemas...
Ejemplo Caso Transitorio:
Método Explícito,
Ecuación de Flujo de Calor
Estabilidad
Si r < 1/2, tendremos una mejora en la exactitud

Se puede demostrar que eligiendo el r = 1/6 tiene una ventaja especial que minimiza el error de truncamiento

Si r > 1/2, el método puede tornarse inestable

si r=0.5
Ejemplo Caso Transitorio:
Método Implícito de Crank-Nicolson
Método Explícito vs
Método Implícito de Crank-Nicolson
Método Explícito
(+) Requiere pocos cálculos
(-) Se vuelve inestable para valores de r > 0.5
(-) El paso de tiempo debe ser pequeño debido a la restricción de r menor o igual a 0.5

Método Implícito de Crank-Nicolson
(+) Estable aún para grandes valores de r
(-) Requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales para cada valor de t

Vamos al pizarrón...
Estabilidad
Estable para todo valor de r
Mejora exactitud para valores pequeños de r

Podemos hacer r=1 para simplificar la expresión:
Esquema
Armado del Sistema de Ecuaciones
Código Ejemplo
Código Ejemplo
Vamos al pizarrón...
Ejemplo Transitorio:
Método Explícito,
Ecuación de Onda
Condición Inicial de Neumann
en j=0 (ó j=1 depende de donde comience el arreglo )
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