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Aplicaciones de la derivada (#542)

Resolver problemas optimización, mediante la derivada de una función, en cualquier disciplina relacionada con su entorno.
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Clases Aula24LMS

on 26 August 2014

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Transcript of Aplicaciones de la derivada (#542)

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Aplicaciones de la derivada
Introducción
Las derivadas son una gran herramienta de apoyo para otras ciencias.
Competencias
Resolver problemas optimización, mediante la derivada de una función, en cualquier disciplina relacionada con su entorno.
Máximos y mínimos
La teoría de la optimización se usa para la obtención de máximos y mínimos de una función.
Optimización de funciones
Se plantea el problema y se identifica el objetivo a maximizar o minimizar.


Se obtiene una o más ecuaciones que relacionen las distintas variables del problema.
Actividad
Una huerta tiene actualmente 25 árboles que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado la producción de cada árbol disminuye 15 frutos.
Actividad
Máximos y mínimos
Y una de las aplicaciones más importantes de la teoría es encontrar "La mejor forma de hacer algo".
Máximos y mínimos
Así dependiendo de nuestro interés utilizaremos el valor máximo o el mínimo de la función.
Optimización de funciones
Se despeja una variable de las ecuaciones y se sustituye en la función a trabajar de modo que quede con una sola variable.
Optimización de funciones
Se deriva la función y se iguala a cero para hallar los extremos locales.
Optimización de funciones
Se realiza la 2da derivada para comprobar el resultado obtenido.
Si la 2da derivada es menor que cero el valor obtenido con la primera es el máximo.
¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?
Actividad
p(x) = (25 + x)(600 - 15x)
p(x) = -15x + 225x + 15000

p´(x) = -30x + 225 p´´= -30
-30 < 0

-30x + 225 = 0
-30x = - 225
x = -225/-30
x = 7.5

La producción será máxima si la huerta tiene:

25 + 7 = 32 ó 25 + 8 = 33

32 o 33 árboles plantados!
Actividad
¿Cuál debe ser la medida de los cuadros para que la caja tenga el máximo volumen?
Actividad
V = (50 - 2x)(40 - 2x)(x)
V = 2000x - 100x - 80x + 4x
V = 4x - 180x + 2000x

V´= 12x - 360x + 2000
x = 7.4 y x = 22.6

V´´= 24x - 360
24(7.4) - 360 = -182.4
-182.4 < 0
2 2 3
3 2
2





Por lo tanto la medida de los lados de los cuadrados a recortar es de 7.4 cm.

Ancho de la base: 25.2 cm
Largo de la base: 35.2 cm
Altura de la caja: 7.4 cm
2
Volumen = 1000 cm
Área superficial mínima
As = área círculo + área del rectángulo
As = pi * r + xy
V = 1000 = pi * r * y
Perímetro = 2 * pi * r = x

As = pi * r + (2 * pi * r)
(1000/pi * r )
2
2
2
2
La aplicación de las derivadas en problemas de optimización es la forma más rápida y segura para llegar a nuestro objetivo!
Conclusión
Aprendizajes esperados:

-Conoce los criterios de derivadas para resolver problemas de maximizar o minimizar una función.
-Analiza problemas de optimización que tengan aplicación en situaciones cotidianas.
Profesor Julio Rojas
Especialista en matemáticas y física.
Hoy estudiaremos un tema de gran utilidad: "Aplicaciones de la derivada".
¡ Bienvenidos a una clase en línea !
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