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Como Usar o Infinito a Seu Favor

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by

Dione Lara

on 9 June 2017

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Transcript of Como Usar o Infinito a Seu Favor

As sequências foram propostas em 1944 pelo lógico britânico:
Bertrand Russell
Reuben Goodstein
Tome um número natural.
Sei lá, o 3.

Faremos o seguinte:
3 =2 + 2
1
0
3 + 3 = 4
1
0
subtraindo 1 teremos:
3 = 3
2 = 2(5 )
1 = 1(6 )
subtraindo 1 teremos 0!
1
0
0
Troca a base
"2" para "3"
3 = 3
1
3 = 3(4 )
0
4
1
subtraindo 1 teremos:
3 = 3(4 )
0
3 = 3(5 )
0
subtraindo 1 teremos:
2 = 2(5 )
Troca a base
"3" para "4"
Troca a base
"4" para "5"
2 = 2(6 )
0
subtraindo 1 teremos:
1 = 1(6 )
1 = 1(7 )
0
Troca a base
"5" para "6"
Troca a base
"6" para "7"
0
0
E se ao invés do 3 fosse o número 8 o que aconteceria?

8 =2
3
subtraindo 1 teremos:
26 = 2(3 )+2(3 )+2(3 )
E agora!?
Troca a base
"2" para "3"
2
41=2(4 )+2(4 )+1(4 )
Troca a base
"3" para "4"
Troca a base
"4" para "5"
1
0
2(4 )+2(4 )+2(4 )=42
2(5 )+2(5 )+1(5 )=65
2
1
0
2
1
0
0
1
2
subtraindo 1 teremos:
3 =27
3
8
2
3
2(3 )+2(3 )+2(3 )
2
1
0
3
2+ 2+ 2
2
1
0
2(4 )+2(4 )+1(4 )
1
0
Como Buzz Lightyear pode nos ajudar?
AO INFINITO E ALÉM!
Ao infinito e além!
Intuitivamente, os números ordinais são usados para indicar posição em uma lista:
0
1
2
3
4
5
6
7
Neste caso o conjuto dos naturais daria conta do recado.
Mas se incluíssemos os marcianos nessa lista?
...
...
0
1
2
3
4
5
6
7
n
+ 1
+ 2
+ n
+
=
2
.
+ 1
+ 2
+ n
+
=
2
.
2
.
2
.
2
.
2
.
3
.
+ 1
=
+ 1
3
.
3
.
4
.
n
.
.
2
2
2
3
n
+ 1
+ 1
2
+
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Continuando...
primeiro número maior que todos os números naturais
primeiro ordinal maior que todos os ordinais da forma
+ n
para todo n natural.
2 + 2 + 2 = 266
3 + 3 + 3 - 1 = 3 + 3 + 2 = 6500
4 + 4 + 2 - 1 = 4 + 4 + 1 = 65601
5 + 5 + 1 - 1 = 5 + 5 = 390750
3
1
8
3
1
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
Vamos forçar a barra!
Que tal começarmos com o número 266?
Troca a base
"2" para "3"
e subtrai 1
Troca a base
"3" para "4"
e subtrai 1
Troca a base
"4" para "5"
e subtrai 1
Tá crescendo que uma beleza!
As sequências que vimos até agora não eram de Goodstein. Chamaremos estas últimas de sequências fracas de Goodstein.
Para ser uma sequência de Goodstein procedemos da seguinte maneira:
Considere novamente o número 266.
8
2 + 2 + 2 = 266
3
1
Agora, faremos o seguinte:
8 = 2
3
e
3 = 2 + 2
1
0
8 = 2
2 + 2
1
0
2
2 + 2
1
0
2 + 2
1
0
2 +
2 + 2 = 266
2
0
3
3 + 3
1
0
3 + 3
1
0
3 +
3 + 3 -1 =
3
0
3
3 + 3
1
0
3 + 3
1
0
3 +
3 + 2
10
38
4
4 + 4
1
0
4 + 4
1
0
4 +
4 + 1
10
616
4 + 4
1
0
4 + 4
1
0
4 +
4 + 2 - 1 =
4
5
5 + 5
1
0
5 + 5
1
0
5 +
5
10
10921
5 + 5
1
0
5 + 5
1
0
5 +
5 + 1 - 1 =
5
Então:
2
2 + 2
1
0
2 + 2
1
0
2 +
2 + 2 = 266
2
0
Passamos recursivamente da base "2" para "3" e subtraimos 1
Ou seja,
Porém,
...
Observe que soma não é comutativa!
Mais especificamente:
2
2 + 2
1
0
2 + 2
1
0
2 +
2 + 2
2
0
3
3 + 3
1
0
3 + 3
1
0
3 +
3 + 2
10
38
4
4 + 4
1
0
4 + 4
1
0
4 +
4 + 1
10
616
5
5 + 5
1
0
5 + 5
1
0
5 +
5
10
10921
+ 1
+ 1
+
+
+ 1
+ 1
+
+ 2
+ 1
+ 1
+
+ 1
+ 1
+ 1
+
Concluimos também que a multiplicação de ordinais também não é comutativa!
266 =
decresce!
Ao infinito para o início!
Portanto a sequência é ZERO em finitos passos
!
Isso que acabamos de ver é possível somente na aritmética de Peano?
Ou seja, sem o uso dos ordinais tranfinitos.
NÃO!
Por quê?
Eles mostraram, em 1982, que se a convergência pudesse ser provada usando apenas o princípio da boa ordenação dos inteiros (isto é, dentro da aritmética de Peano) então o teorema sobre sequências Goodstein poderia ser reduzido a um teorema de Gentzen (1936), a partir do qual a consistência da aritmética de Peano poderia ser deduzida.
Passamos recursivamente da base "3" para "4" e subtraimos 1
Passamos recursivamente da base "4" para "5" e subtraimos 1
Isso se chama mudar de base recursivamente!
...
...
2+ 2+
2
1
0
Em particular:
Supreendentemente, E.Cichon em 1983 provou a convergência das sequências de Goodstein fraca dentro da aritmética de Peano!
Gentzen mostrou que usando indução transfinita em ordinais menores que pode-se provar a consistência da Aritmética de Peano!
Aqui, de maneira beem resumida, diz que as sequências de Goodstein são equivalente a indução transfinita em ordinais menores que !
A razão essencialmente é que os termos da sequência de ordinais
correspondentes são menores do que .
O Jogo da Hidra
Qualquer que seja a configuração das cabeças da Hidra e qualquer que seja a estratégia empregada por Hércules, ele conseguirá cortar todas as cabeças, apesar de isso acontecer após um tempo extraordinariamente longo!
Eu não consegui muito bem entender o razão disso nesse artigo. Quem sabe na próxima! :D
Me parece que
Referências
Sequências de Goodstein: o poder do desvio via infinito. Blog Projeto Klein. http://blog.kleinproject.org/?p=1680&lang=pt-br
Kirby,L. e Paris, J. Accessible Independence Results for Peano Arithmetic, Bulletin of the London Mathematical Society, 14, 285-293, 1982
Cichon,E.A. A Short Proof of Two Recently Discovered Independence Results Using Recursion Theoretical Methods, Proceedings of the AMS,87,704-706, 1983
Goodstein,R.L. On the Restricted Ordinal Theorem, Journal of Symbolic Logic, 9,33-41, 1944
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/aurichi/lib/exe/fetch.php?media=curso:conjuntos2016.pdf
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer.
Potter M. Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction. Oxford University Press, 2004
2
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