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Geometría: Semejanza de Figuras Planas

Profesora Pía Aravena. Liceo Manuel Barros Borgoño.
by

Pía Aravena

on 9 December 2013

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Transcript of Geometría: Semejanza de Figuras Planas

SEMEJANZA
FIGURAS PLANAS
Semejanzas de figuras planas, Criterios de Semejanza de triángulos, Teorema de Tales.
SEMEJANZAS EN LA VIDA COTIDIANA
Cuando se habla de semejanza, casi siempre se hace referencia al concepto de "parecido" o "similar".
El significado de semejanza que hacemos notar hace referencia a una característica común entre objetos o personas: color, tamaño y forma, entre otros.
SEMEJANZAS EN LA MATEMÁTICA
En matemática, el concepto de semejanza está ligado al concepto de "proporcionalidad"; se dice que dos objetos son semejantes si existe proporción entre ellos.
En Geometría, diremos que dos figuras son semejantes (~) si, y solo si, tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
ALGUNAS CONSIDERACIONES:
Dos polígonos regulares de igual número de lados, siempre serán semejantes:
~
~
Toda circunferencia es semejante con otra circunferencia:
~
~
SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos serán semejantes si los ángulos de uno de ellos son respectivamente iguales (congruentes) con los ángulos del otro y, además, tienen proporcionales sus lados homólogos correspondientes.
A
B
C
D
F
E
Los lados homólogos serán:
AB con DE
BC con EF
CA con FE
5
4
3
10
8
6
Entonces ^ABC ~ ^DEF
Si dividimos cada uno de los lados homólogos, debemos obtener la misma razón, en este caso es 2, por lo que son proporcionales.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
b. Criterio L-L-L
Si dos triángulos tienen tres lados proporcionales, entonces son semejantes.
Ej1. ¿Son semejantes ABC con DEF?
A
B
C
D
E
F
6
8
4
2
3
4
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
a. Criterio A-A-A
Si dos triángulos tienen tres ángulos, cada uno respectivamente congruente con los ángulos del otro, entonces los triángulos son semejantes
Ej1. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
E
30°
60°
Ej2. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
6
8
4
2
3
4
E
Ej3. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
8
4
E
10
5
A
B
C
D
F
E
30°
Ej2. ¿Son semejantes ABC y EFD?
30°
A
B
C
D
F
E
30°
Ej3. ¿Son semejantes ABC y FDE?
70°
80°
80°
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
c. Criterio L-A-L
Si dos triángulos tienen, cada uno, dos lados correspondientes proporcionales y el respectivo ángulo entre los dos es congruente, entonces son semejantes.
Ej1. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
E
60°
12
9
60°
4
3
Ej2. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
E
30°
12
9
30°
4
3
Ej3. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
E
70°
9
4
3
16
70°
4
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
d. Criterio L-L-A
Si dos triángulos tienen dos de sus lados respectivamente proporcionales y si el ángulo opuesto al lado mayor de los dos es congruente al del otro, entonces son semejantes.
Ej1. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
E
80°
12
9
80°
4
3
m
Ej2. ¿Son semejantes ABC y DEF?
A
B
C
D
F
E
12
9
4
3
60°
60°
TEOREMA DE
TALES
Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son respectivamente proporcionales a los segmentos determinados en la otra.
L1
L2
L3
Si L1//L2//L3, entonces:
A
B
C
D
E
F
___
___
=
AB DE
BC EF
Por lo tanto, también es válido para:
AC DF
BC EF
AC DF
AB DE
___ ___
___ ___
=
=
y
L1
L2
L3
Si L1//L2//L3, entonces:
6
Ej2.
12
x=?
y=?
L1
L2
L3
Si L1//L2//L3, entonces:
3
4
6
Ej1.
x
x=?
12
X
y
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